Persamaan Garis Lurus & Singgung: Rumus dan Contoh

Salah satu materi penting dalam Matematika yang bermanfaat dalam berbagai aspek kehidupan adalah persamaan garis. Ada banyak bentuk garis yang ditemukan sehari-hari mulai dari garis lurus, garis kurva, garis lengkung dan sebagainya. Setiap garis tersebut memiliki persamaannya masing-masing.

Definisi Persamaan Garis

Persamaan garis bisa dikatakan merupakan formula atau pemetaan pola bentuk garis yang terbentuk pada bidang koordinat kartesius. Setiap bentuk garis memiliki persamaannya masing-masing yang berbeda. Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang memetakan bentuk grafik garis lurus.

Persamaan garis ditandai dengan notasi sama dengan “=”.

Persamaan Garis dalam Kehidupan Sehari-Hari

Ada banyak aplikasi persamaan garis dalam kehidupan sehari-hari seperti untuk menentukan kemiringan suatu bangunan. Selain itu persamaan garis juga bermanfaat dalam menentukan jarak dan juga waktu dari kecepatan kendaraan.

Persamaan garis lurus juga bermanfaat dalam peramalan jumlah penduduk serta harga komoditas di tahun-tahun tertentu yang mengalami kenaikan secara linear.

Persamaan Garis Lurus

Garis lurus merupakan sekumpulan titik-titik tak berhingga yang saling berdampingan. Persamaan garis lurus memiliki fungsi berbentuk:

y = mx + c, m merupakan gradient atau kemiringan dari garis sementara c adalah konstanta.

Persamaan garis lurus juga bisa dituliskan dengan ax + by + c, yang mana notasi a dan b adalah koefisien dan c merupakan konstanta.

Dapat dilihat pada gambar grafik di atas bahwa kurva memotong sumbu X dan sumbu Y di koordinat Cartesius. Persamaan grafik garis lurus di atas adalah y = 5x + 2. Titik-titik perpotongan dari grafik garis lurus berada pada x = 0 dan y = 0.

Perlu diketahui bahwa:

a. Pada saat x = 0, maka persamaan garis lurus akan memotong di sumbu Y. Sehingga sering disebut sebagai perpotongan garis dengan sumbu Y

b. Pada saat y = 0, maka persamaan garis lurus akan memotong di sumbu X. Sehingga sering disebut sebagai perpotongan garis dengan sumbu X

Untuk menghitung titik potongnya dengan mensubstitusikan nilai x = 0 dan y = 0.

• x = 0
  y = 5x + 2
  y = 5 (0) + 2
  y = 2, sehingga titik potong di sumbu Y adalah (0, 2)

• y = 0
  y = 5x + 2
  0 = 5x + 2
  -2 = 5x
  x = -2/5, sehingga titik potong di sumbu X adalah (-2/5, 0)

Persamaan Garis Singgung

Selain persamaan garis lurus, dalam Matematika juga dikenal dengan garis singgung. Garis singgung adalah garis lurus yang menyinggung atau menyentuh sebuah objek geometri seperti lingkaran dan kurva di titik tertentu.

Secara umum, persamaan garis singgung dengan gradient m yang melalui titik B (x1, y1):

y – y1 = m (x – x1)

Notasi m adalah gradient atau kemiringan garis singgung yang harus dicari terlebih dulu.

Persamaan Garis Singgung Kurva

Pada umumnya, kurva kuadrat mempunyai persamaan garis berupa ax² + bx + c = 0. Untuk menghitung persamaan garis singgungnya menggunakan rumus:

y – y1 = m (x – x1), dengan m adalah gradient garis atau kemiringan garis singgung. Titik x1, y1 adalah titik yang bersinggungan oleh garis singgung tersebut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Posisi garis pada lingkaran dibedakan menjadi tiga yakni garis memotong lingkaran pada dua titik berbeda, garis yang tidak berpotongan dengan lingkaran serta garis yang memotong lingkaran di satu titik saja atau juga dikenal sebagai garis singgung lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran dibedakan berdasarkan posisi lingkaran tersebut.

1. Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran x² + y² = r² di Titik P (x1, y1)

Pada Gambar 3 di atas tampak garis singgung (g) menyinggung lingkaran x² + y² = r² di titik P (x1, y1) dengan garis OP tegak lurus garis singgung. Pada kondisi ini berlaku gradien garis OP terhadap garis singgung:

Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² di titik x1, y1 adalah:

x1.x + y1.y = r²

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²

Lingkaran pada Gambar 4 tidak berpusat di titik (0, 0) seperti pada Gambar 3 sehingga memiliki persamaan garis singgung yang berbeda. Gradien garis PQ pada Gambar 4 adalah:

Sementara persamaan gradien garis singgung (g) yang tegak lurus terhadap garis PQ sebagai berikut:

Sehingga diperoleh persamaan garis (g) yang melalui lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² di titik Q (x1, y 1) adalah:

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r²

Contoh Soal Persamaan Garis

• Soal 1

Tentukan pada titik berapakah koordinat titik potong garis yang memiliki persamaan 3y – 2x = 18 terhadap sumbu koordinat.

• Soal 2

Buktikan bahwa titik (6, -8) ada pada lingkaran x² + y² = 100 serta tentukan garis singgung pada lingkaran tersebut.

Kesimpulan

Persamaan garis adalah pemetaan bentuk garis yang terbentuk pada bidang koordinat kartesius. Setiap bentuk garis memiliki persamaannya yang berbeda. Untuk menghitung persamaan garis baik itu garis lurus atau garis singgung maka dibutuhkan informasi mengenai gradient garis.