Soal 8

Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 - 3x - 10 = 0$ .

Pembahasan

Persamaan kuadrat $x^2 - 3x - 10 = 0$ :

Persamaan ini memiliki koefisien $a = 1$ , $b = -3$ , dan $c = -10$ . Koefisien ini dapat dimasukkan ke dalam rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Pertama-tama, kita hitung diskriminan (D) dalam rumus kuadrat, yaitu $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times -10 = 9 + 40 = 49$ . Akar dari diskriminan ini adalah $\sqrt{49} = 7$ .

Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat, kita mendapatkan $x = \frac{-(-3) \pm 7}{2 \times 1}$ , atau $x = 5$ dan $x = -2$ . Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $5$ dan $-2$ .

Soal 9

Sebuah fungsi kuadrat berbentuk $y = ax^2 + bx + c$ , di mana $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ . Cari akar-akar persamaan tersebut.

Pembahasan

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ , di mana $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ :

Fungsi ini memiliki bentuk umum persamaan kuadrat, dengan $a = 1$ , $b = -2$ , dan $c = -3$ . Akar-akar dari fungsi ini dapat dicari dengan rumus kuadrat yang sama seperti sebelumnya.

Diskriminannya adalah $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times -3 = 4 + 12 = 16$ , dengan akar $\sqrt{16} = 4$ .

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah $x = \frac{-(-2) \pm 4}{2 \times 1}$ , atau $x = 3$ dan $x = -1$ .

Soal 10

Selesaikan persamaan kuadrat $3x^2 + 5x - 2 = 0$ .

Pembahasan

Persamaan kuadrat $3x^2 + 5x - 2 = 0$ :

Persamaan ini memiliki koefisien $a = 3$ , $b = 5$ , dan $c = -2$ . Diskriminannya adalah $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 3 \times -2 = 25 + 24 = 49$ , dengan akar $\sqrt{49} = 7$ .

Jadi, akar-akar persamaan ini adalah $x = \frac{-5 \pm 7}{2 \times 3}$ , atau $x = 0.5$ dan $x = -1.33$ .

Soal 11

Diketahui fungsi kuadrat $y = 2x^2 - 5x + 2$ . Tentukan akar-akar persamaan tersebut.

Pembahasan

Fungsi kuadrat $y = 2x^2 - 5x + 2$ :

Fungsi ini memiliki koefisien $a = 2$ , $b = -5$ , dan $c = 2$ . Diskriminannya adalah $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9$ , dengan akar $\sqrt{9} = 3$ .

Jadi, akar-akar persamaan ini adalah $x = \frac{-(-5) \pm 3}{2 \times 2}$ , atau $x = 1$ dan $x = 2$ .

Soal 12

Sebuah persamaan kuadrat berbentuk $x^2 - 2px + p = 0$ , dengan $p$ adalah suatu konstanta dan memiliki akar-akar yang sama. Tentukan nilai $p$ .

Pembahasan

Persamaan kuadrat $x^2 - 2px + p = 0$ , dengan $p$ adalah suatu konstanta dan memiliki akar-akar yang sama.

Jika sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang sama, maka diskriminannya $D = b^2 - 4ac$ harus sama dengan 0.

Dalam persamaan ini, $a = 1$ , $b = -2p$ , dan $c = p$ .
Jadi, $D = (-2p)^2 - 4 \times 1 \times p = 0$ .

Solusinya adalah $p = 1$ . Jadi, jika $p = 1$ , persamaan ini akan memiliki akar-akar yang sama.

Soal 13

Sebuah objek dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s dari tanah. Tinggi objek dalam detik ke-t adalah $h(t) = -5t^2 + 20t$ .

Tentukan kapan objek akan mencapai ketinggian maksimumnya.

Pembahasan

Tinggi maksimum objek dicapai ketika $t$ adalah akar dari turunan $h'(t)$ karena pada saat itu kecepatan vertikal objek adalah nol (objek berhenti sejenak sebelum turun lagi).

Maka $h'(t) = -10t + 20$ , dan $t = 2$ saat $h'(t) = 0$ . Jadi, objek mencapai ketinggian maksimum pada detik ke-2.

Soal 14

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + bx + c = 0$ adalah 3 dan -2. Tentukan nilai dari b dan c.

Pembahasan

Jika 3 dan -2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut, maka kita dapat menulis persamaan tersebut menjadi $x^2 - (3 - (-2))x + 3 \times (-2) = 0$ , jadi $b = 1$ dan $c = -6$ .

Soal 15

Sebuah perusahaan memproduksi dan menjual barang dengan model penjualan $P(x) = -3x^2 + 60x$ , di mana $P(x)$ adalah pendapatan dalam ribuan dolar dan $x$ adalah jumlah barang yang dijual.

Berapa banyak barang yang harus dijual perusahaan untuk memaksimalkan pendapatannya?

Pembahasan

Pendapatan maksimum dicapai ketika barang yang dijual $x$ adalah akar dari turunan $P'(x)$ .

Maka $P'(x) = -6x + 60$ , dan $x = 10$ saat $P'(x) = 0$ .

Jadi, perusahaan harus menjual 10 barang untuk memaksimalkan pendapatannya.

Soal 16

Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah -1 dan 2, dan $a = 2$ . Tentukan nilai dari b dan c.

Pembahasan

Jika -1 dan 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dan $a = 2$ , maka kita dapat menulis persamaan tersebut menjadi $2x^2 - 2(-1 + 2)x + 2 \times (-1 \times 2) = 0$ , jadi $b = -2$ dan $c = -4$ .

Soal 17

Sebuah fungsi kuadrat didefinisikan sebagai $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Jika $f(1) = 3$ , $f(-1) = 7$ , dan $f(2) = 15$ , tentukan nilai dari a, b, dan c.

Pembahasan

Kita memiliki tiga kondisi $f(1) = 3$ , $f(-1) = 7$ , dan $f(2) = 15$ . Maka kita dapat membuat sistem persamaan linear sebagai berikut: $a + b + c = 3$ , $a - b + c = 7$ , dan $4a + 2b + c = 15$ .

Menyelesaikan sistem ini memberikan $a = 2$ , $b = -1$ , dan $c = 2$ . Jadi, $f(x) = 2x^2 - x + 2$ .

Soal 18

Nilai p dan q pada persamaan kuadrat $x^2 - 4x + p = 0$ adalah akar-akar persamaan itu sendiri. Carilah nilai p dan q.

Pembahasan

Persamaan kuadrat $x^2 - 4x + p = 0$ memiliki akar-akar yang juga merupakan koefisien, yaitu -4 dan p.

Dengan hukum Vieta, kita tahu bahwa jumlah akar-akar sama dengan -b/a dan hasil kali akar-akar sama dengan c/a. Jadi, kita punya -4 + p = 0 dan -4p = p.

Dari persamaan pertama, kita dapatkan p = 4. Dari persamaan kedua, kita dapatkan q = -1.

Soal 19

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x. Posisinya diberikan oleh $x(t) = 16t^2 - 40t + 25$ meter, di mana t adalah waktu dalam detik.

Kapan partikel mencapai jarak maksimum dari titik awal?

Pembahasan

Partikel mencapai jarak maksimum dari titik awal ketika kecepatannya, yaitu turunan dari $x(t)$ , adalah nol. Jadi, kita harus mencari t untuk $\frac{dx}{dt} = 0$ .

Dengan melakukan derivasi, kita mendapatkan $\frac{dx}{dt} = 32t - 40 = 0$ , sehingga t = 1.25 detik.

Soal 20

Sebuah bola dilempar ke atas dan ketinggiannya setelah t detik diberikan oleh fungsi $h(t) = -4.9t^2 + 30t + 1.5$ .

Carilah waktu saat bola mencapai ketinggian maksimumnya dan tentukan ketinggian maksimum tersebut.

Pembahasan

Bola mencapai ketinggian maksimum saat kecepatannya (turunan dari $h(t)$ ) adalah nol. Oleh karena itu, kita perlu mencari t untuk $\frac{dh}{dt} = 0$ .

Dengan melakukan derivasi, kita mendapatkan $\frac{dh}{dt} = -9.8t + 30 = 0$ , sehingga t = 3.06 detik.

Ketinggian maksimum bola adalah $h(3.06) = -4.9(3.06)^2 + 30(3.06) + 1.5 \approx 46.59$ meter.

Soal 21

Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 - 5x + 2 = 0$ adalah saling terbalik.
Tentukan nilai a.

Pembahasan

Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 - 5x + 2 = 0$ adalah saling terbalik, maka hasil kali akar-akar (c/a) harus sama dengan 1.

Kita punya $2/a = 1$ , jadi a = 2.

Soal 22

Diketahui bahwa 2 dan 5 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 + bx + 20 = 0$ . Tentukan nilai b.

Pembahasan

Jika 2 dan 5 adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + bx + 20 = 0$ , maka dengan hukum Vieta kita tahu bahwa b adalah minus jumlah akar-akar.

Jadi, b = -(2 + 5) = -7.

Ketiga metode di atas sebenarnya sama-sama bisa digunakan untuk setiap contoh soal persamaan kuadrat. Namun, ada kalanya soal tertentu lebih mudah jika diselesaikan menggunakan salah satu metode yang ada. Sering berlatih agar terbiasa menggunakan ketiga metode mencari akar persamaan kuadrat.

Pages: 1 2