Fungsi Kuadrat: Pengertian, Rumus, Grafik, Contoh Soal

Fungsi kuadrat adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang masuk ke dalam jenis-jenis fungsi bersama fungsi konstan, fungsi linear, fungsi identitas dan sebagainya. Fungsi kuadrat memiliki ciri khas berupa grafik berbentuk parabola ketika digambar pada koordinat Kartesius.

Pengertian Fungsi Kuadrat

Apabila fungsi f dinyatakan dengan persamaan f (x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0, b, dan c bernilai konstan serta berlaku untuk setiap x dalam daerah asal maka fungsi f (x) tersebut adalah fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat yang memiliki persamaan f (x) = ax² + bx + c apabila dibuat grafik akan membentuk parabola.

Pada fungsi kuadrat dengan persamaan f (x) = ax² + bx + c, berlaku padanya beberapa karakteristik berikut:

a. Sumbu simetri adalah

b. Grafik persamaan fungsi y = ax² + bx + c memiliki titik balik dengan koordinat

c. D merupakan diskriminan yang menentukan sifat dari akar persamaan kuadrat. Nilai D dapat dicari dengan menggunakan rumus D = b² – 4ac

d. Apabila nilai a > 0 maka didapatkan titik balik minimum sementara apabila a < 0 maka didapatkan nilai titik balik maksimum

Manfaat Fungsi Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-Hari

Fungsi kuadrat meskipun terlihat rumit dari segi bentuk persamaannya, namun ternyata memiliki manfaat yang sangat besar dalam kehidupan sehari-hari. Kurva fungsi kuadrat yang mirip dengan parabola bermanfaat dalam desain arsitektur berbentuk melengkung simetris.

Bentuk-bentuk seperti tiang jembatan yang melengkung dibangun dengan menggunakan prinsip rumus fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat juga bermanfaat dalam Fisika lebih tepatnya arah gerak proyektil yang mempunyai kurva serupa lintasan benda jatuh.

Dengan fungsi kuadrat, maka puncak tertinggi dari benda yang dilempar hingga kecepatan bola pada lintasan berbentuk parabola bisa dihitung. Banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari seperti penelitian di bidang Saintek memiliki bentuk parabola ketika digambar di koordinat Kartesius.

Jenis-Jenis Fungsi Kuadrat

Bentuk grafik fungsi kuadrat dipengaruhi oleh koefisien a, b dan c pada persamaan kuadratnya.

1. Hubungan Grafik Fungsi Kuadrat dengan Koefisien A

  • Apabila koefisien a dari fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c memiliki nilai a > 0, maka grafik akan terbuka ke atas. Semakin besar nilai a, maka bentuk grafiknya akan semakin sempit. Lihat perbandingan antara bentuk grafik dari fungsi kuadrat y = x² + 1 dengan y = ½ x + 1.
Gambar 1. Grafik Fungsi Kuadrat dengan a = 1 (Positif)
Gambar 2. Grafik Fungsi Kuadrat dengan a = ½

Bisa dilihat dari perbandingan Gambar 1 dan Gambar 2 bahwa bentuk grafik semakin sempit ketika nilai a semakin besar.

  • Apabila koefisien a < 0, maka grafik akan terbuka ke bawah. Apabila koefisien a bernilai negatif, maka bentuk kurva seolah terbalik. Lihat pada Gambar 3 di bawah ini.
Gambar 3. Grafik Fungsi Kuadrat dengan a < 0

Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk melukis grafik fungsi kuadrat maka harus melalui beberapa langkah di bawah ini:

  1. Pertama-tama dengan menghitung titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. Untuk titik potong grafik terhadap sumbu X, maka dicari pada saat nilai y = f (x) = 0. Sementara titik potong grafik terhadap sumbu Y, maka dicari pada saat nilai x = 0.
  2. Langkah kedua adalah menghitung sumbu simetri dari kurva fungsi kuadrat dengan rumus
  1. Langkah ketiga adalah menentukan titik puncak kurva sumbu simetri dengan persamaan

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

1. Diketahui fungsi kuadrat f dinyatakan dengan persamaan f (x) = -x² + x + 6 dengan x . Tentukan nilai di bawah ini:

a. Tentukan nilai f (0), f (5), f (k) dan f (k + 3)
b. Gambar grafik fungsi kuadrat tersebut
c. Tentukan daerah hasilnya.

Pembahasan

Jawab:

a. Untuk menentukan nilai fungsi f, maka nilai x pada fungsi f (x) = -x² + x + 6 disubstitusi sebagai berikut:

  • f (x) = -x² + x + 6
    f (0) = – (0)² + 0 + 6
    f (0) = 6
  • f (5) = -(5)² + 5 + 6
    f (5) = -25 + 5 + 6
    f (5) = -14
  • f (k) = -k² + k + 6
  • f (k + 3) = -(k + 3)² + k + 3 + 6
    f (k + 3) = -(k² + 3k + 3k + 9) + k + 3 + 6
    f (k + 3) = -(k² + 3k + 3k + 9) + k + 3 + 6
    f (k + 3) = -k² – 6k – 9 + k + 3 + 6
    f (k + 3) = -k² – 5k

b. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat dari persamaan di atas, maka ada beberapa langkah yang harus dilakukan.

1) Pertama, menghitung titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. Untuk titik potong grafik terhadap sumbu X, maka dicari pada saat nilai y = f (x) = 0:

f (x) = -x² + x + 6
0 = -x² + x + 6
0 = -(x + 2) (x – 3)
x = -2 atau x = 3

Sehingga titik potong grafik terhadap sumbu X adalah di titik (-2, 0) dan (3, 0)
Selanjutnya menghitung titik potong grafik terhadap sumbu Y, maka dicari pada saat nilai x = 0

f (x) = -x² + x + 6
f (0) = -0² + 0 + 6
f (0) = 6

Sehingga titik potong grafik terhadap sumbu Y adalah di titik (0, 6)

2) Langkah kedua adalah menghitung titik balik dari kurva fungsi kuadrat yakni pada titik

Nilai diskriminan atau D dihitung dengan rumus:

D = b² – 4ac
D = 1² – 4 (-1) (6)
D = 1 + 24
D = 25

Sehingga titik baliknya pada:

b. Grafik fungsi f (x) = -x² + x + 6 digambarkan pada grafik di bawah ini

c. Daerah hasil dari grafik fungsi di atas adalah

Fungsi kuadrat memiliki ciri khas berupa grafiknya yang membentuk parabola apabila digambar pada koordinat Kartesius. Fungsi kuadrat memiliki banyak manfaat dalam kehidupan sehari-hari seperti pembuatan bangunan yang memiliki bentuk melengkung simetris seperti tiang pada jembatan dan lainnya.

Kembali ke Materi Matematika