Kumpulan Contoh Soal Fungsi Kuadrat & Pembahasannya

Fungsi kuadrat adalah jenis fungsi matematika yang memiliki tingkat eksponen tertinggi pada variabel x adalah 2. Dalam rangka memperdalam pemahaman tentang fungsi kuadrat, kami telah menyusun kumpulan contoh soal fungsi kuadrat yang beragam.

Ayo kita jelajahi contoh-contoh tersebut untuk melatih kemampuan kita dalam menganalisis dan memahami fungsi kuadrat secara umum.

  • Soal 1

Diberikan sebuah fungsi kuadrat f(x) = 2x^{2} + 3x - 2. Tentukan nilai dari f(3).

Pembahasan

Untuk mencari nilai f(3), kita hanya perlu menggantikan semua x dalam persamaan dengan 3:

f(3) = 2(3)^{2} + 3(3) - 2 = 2(9) + 9 - 2 = 18 + 9 - 2 = 25.
  • Soal 2

Diberikan fungsi kuadrat g(x) = x^{2} - 4x + 4. Apakah fungsi ini memiliki akar dan jika ya, berapakah akar-akarnya?

Pembahasan

Fungsi kuadrat g(x) akan memiliki akar jika diskriminan b^{2} - 4ac lebih besar atau sama dengan 0.

Dalam hal ini, a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga diskriminan adalah (-4)^{2} - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0.

Oleh karena itu, fungsi ini memiliki akar yang sama dan akar tersebut dapat ditemukan dengan rumus -b/(2a) = 4/2 = 2.

  • Soal 3

Diberikan fungsi kuadrat h(x) = 3x^{2} - 12x + 12. Tentukan titik puncak dari grafik fungsi ini.

Pembahasan

Titik puncak sebuah fungsi kuadrat berbentuk ax^{2} + bx + c dapat ditemukan dengan rumus (-b/2a, f(-b/2a)).

Dalam hal ini, -b/2a = 12/6 = 2, sehingga koordinat x titik puncak adalah 2.

Substitusikan ini ke dalam fungsi untuk menemukan koordinat y titik puncak: h(2) = 3(2)^{2} - 12(2) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0.

Oleh karena itu, titik puncak adalah (2, 0).

  • Soal 4

Diberikan fungsi kuadrat k(x) = -x^{2} + 6x - 9. Tentukan nilai x jika k(x) = 0.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai x yang membuat k(x) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat -x^{2} + 6x - 9 = 0.

Menggunakan rumus kuadrat, x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), kita dapatkan x = [-(6) \pm \sqrt{(6)^{2} - 4(-1)(-9)}]/[2(-1)], yang memberikan solusi x = 3 \pm \sqrt{0}, sehingga x = 3.

  • Soal 5

Diberikan fungsi kuadrat p(x) = 5x^{2} - 20x + 20. Tentukan apakah parabola yang diwakili oleh fungsi ini membuka ke atas atau ke bawah.

Pembahasan

Sebuah parabola akan membuka ke atas jika koefisien x^{2} (yaitu, a) positif, dan akan membuka ke bawah jika koefisien x^{2} negatif.

Dalam hal ini, a = 5, yang merupakan nilai positif, jadi parabola membuka ke atas.

  • Soal 6

Sebuah roket diluncurkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan mengikuti fungsi kuadrat h(t) = -4.9t^{2} + 20t, dimana h(t) adalah ketinggian dalam meter dan t adalah waktu dalam detik. Tentukan ketinggian maksimum roket tersebut.

Pembahasan

Ketinggian maksimum diperoleh pada puncak parabola, yang koordinat x-nya ditemukan dengan rumus -b/(2a).

Substitusikan nilai b = 20 dan a = -4.9 ke dalam rumus, kita dapatkan t = -20/(2 \times -4.9) = 2.04 detik.

Substitusikan t = 2.04 detik ke dalam fungsi untuk mendapatkan ketinggian maksimum: h(2.04) = -4.9(2.04)^{2} + 20(2.04) = 20.4 meter.

  • Soal 7

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = -2x^{2} + 8x - 3. Tentukan apakah fungsi ini memiliki akar dan jika ya, berapakah akar-akarnya?

Pembahasan

Untuk menentukan akar fungsi ini, kita perlu menghitung diskriminan b^{2} - 4ac. Jika diskriminan ini lebih besar atau sama dengan 0, maka fungsi memiliki akar.

Dalam hal ini, a = -2, b = 8, dan c = -3, sehingga diskriminan adalah (8)^{2} - 4(-2)(-3) = 64 - 24 = 40.

Oleh karena itu, fungsi ini memiliki akar yang dapat ditemukan dengan rumus kuadrat, x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), yang menghasilkan solusi x = 1 \pm \sqrt{10}.

  • Soal 8

Diberikan fungsi kuadrat g(x) = 3x^{2} + 6x + 3. Tentukan titik terendah dari grafik fungsi ini.

Pembahasan

Titik terendah dari fungsi kuadrat (puncak jika parabola membuka ke bawah) dapat ditemukan dengan rumus -b/(2a) untuk koordinat x dan substitusi ke dalam fungsi untuk koordinat y.

Dalam hal ini, -b/2a = -6/(2 \times 3) = -1, dan g(-1) = 3(-1)^{2} + 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0.

Oleh karena itu, titik terendah adalah (-1, 0).

  • Soal 9

Diberikan fungsi kuadrat h(x) = 2x^{2} + 4x + 2. Tentukan nilai x jika h(x) = 10.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai x yang membuat h(x) = 10, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2x^{2} + 4x + 2 = 10, atau 2x^{2} + 4x - 8 = 0.

Menggunakan rumus kuadrat, kita dapatkan x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), yang memberikan solusi x = -1 \pm \sqrt{5}.

  • Soal 10

Diberikan fungsi kuadrat k(x) = x^{2} - 4x + 4. Tentukan apakah parabola yang diwakili oleh fungsi ini membuka ke atas atau ke bawah.

Pembahasan

Parabola akan membuka ke atas jika koefisien x^{2} (yaitu, a) positif, dan akan membuka ke bawah jika koefisien x^{2} negatif.

Dalam hal ini, a = 1, yang merupakan nilai positif, jadi parabola membuka ke atas.

  • Soal 11

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = 2x^{2} - 6x + 5. Tentukan nilai x yang membuat turunan dari fungsi ini sama dengan 0.

Pembahasan

Turunan dari suatu fungsi kuadrat f(x) = ax^{2} + bx + c diberikan oleh f'(x) = 2ax + b.

Untuk f(x) = 2x^{2} - 6x + 5, turunannya adalah f'(x) = 4x - 6.

Mengatur ini sama dengan 0 memberikan kita persamaan 4x - 6 = 0, yang ketika diselesaikan memberikan x = 1.5.

  • Soal 12

Seorang petani sedang mencoba merencanakan tata letak kolamnya yang berbentuk parabolik. Dia tahu bahwa kolamnya memiliki lebar 10 meter di permukaan dan kedalaman maksimum 2.5 meter. Dia ingin mengetahui fungsi kuadrat yang menggambarkan bentuk kolam jika bagian paling dalam berada tepat di tengah-tengah kolam.

Pembahasan

Kolam berbentuk parabolik akan digambarkan oleh suatu fungsi kuadrat. Karena bagian paling dalam kolam berada di tengah (pada x = 5), maka fungsi kuadrat akan memiliki bentuk f(x) = a(x - h)^{2} + k, di mana h adalah 5 (titik tengah kolam) dan k adalah -2.5 (kedalaman maksimum kolam).

Selain itu, kita tahu bahwa kolam memiliki lebar 10 meter, yang berarti parabola menyinggung sumbu x pada x = 0 dan x = 10. Dengan demikian, kita dapat membuat sistem persamaan berikut berdasarkan bentuk fungsi kuadrat tersebut:

f(0) = a(0 - 5)^{2} - 2.5 = 0

f(10) = a(10 - 5)^{2} - 2.5 = 0

Dengan memecahkan sistem ini, kita dapat menemukan bahwa a = 0.1.

Oleh karena itu, fungsi kuadrat yang menggambarkan bentuk kolam adalah f(x) = 0.1(x - 5)^{2} - 2.5.

Melalui latihan dan pemecahan contoh soal fungsi kuadrat, kita dapat mengembangkan pemahaman yang lebih baik tentang konsep dan sifat-sifat fungsi kuadrat. Dengan melihat berbagai contoh soal yang telah disusun, kita dapat memperkuat kemampuan dalam mengidentifikasi pola, menghitung titik potong, serta menganalisis bentuk dan perilaku grafik fungsi kuadrat secara umum.

Kembali ke Materi Matematika