Dalam matematika, vektor adalah entitas yang memiliki magnitude (panjang) dan arah. Mempelajari vektor menjadi penting dalam berbagai bidang, termasuk fisika, matematika, dan ilmu komputer.

Berikut ini adalah kumpulan contoh soal vektor yang meliputi penjumlahan vektor, pengurangan vektor, perkalian skalar dengan vektor, cross product, dan perhitungan sudut antara vektor.

Soal 1

Jika vektor $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}$ dan vektor $\mathbf{B} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ , carilah $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menambahkan komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) + (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) = 5\mathbf{i} + \mathbf{j}$ .

Soal 2

Jika vektor $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ dan vektor $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}$ , carilah vektor $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} - \mathbf{B} = (2\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) - (3\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) = -\mathbf{i} + 6\mathbf{j}$ .

Soal 3

Hitunglah skalar dari vektor $\mathbf{C} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$ .

Pembahasan

Panjang atau skalar dari vektor dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras:

|\mathbf{C}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Soal 4

Jika vektor $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ dan skalar $k = 4$ , carilah $k\mathbf{A}$ .

Pembahasan

Perkalian vektor dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.

Jadi, $k\mathbf{A} = 4 * (3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) = 12\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ .

Soal 5

Hitunglah dot product dari vektor $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$ dan vektor $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$ .

Pembahasan

Dot product (produk dalam) dua vektor adalah hasil penjumlahan dari perkalian komponen-komponen yang searah. Jadi,

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}) = 2*3 + 3*(-4) = 6 - 12 = -6

Soal 6

Jika vektor $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$ dan vektor $\mathbf{B} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$ , carilah $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menambahkan komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + (-\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) = 2\mathbf{i} + \mathbf{k}$ .

Soal 7

Jika vektor $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$ dan vektor $\mathbf{B} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ , carilah vektor $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} - \mathbf{B} = (2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) - (3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = -\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$ .

Soal 8

Jika vektor $\mathbf{A} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ , carilah $2\mathbf{A}$ .

Pembahasan

Perkalian vektor dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.

Jadi, $2\mathbf{A} = 2 * (4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ .

Soal 9

Jika vektor $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$ dan vektor $\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}$ , carilah $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} - \mathbf{B} = (3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) - (-2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}) = 5\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$ .

Soal 10

Jika vektor $\mathbf{A} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ dan vektor $\mathbf{B} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$ , carilah vektor $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ .

Pembahasan

Penjumlahan vektor dilakukan dengan menambahkan komponen-komponen yang searah.

Jadi, $\mathbf{A} + \mathbf{B} = (\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) + (2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ .

Soal 11

Jika vektor $\mathbf{A} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ , carilah $3\mathbf{A}$ .

Pembahasan

Perkalian vektor dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.

Jadi, $3\mathbf{A} = 3 * (2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 9\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$ .

Menguasai konsep vektor penting dalam ilmu pengetahuan. Dengan memahami contoh soal vektor ini, kita dapat mengembangkan keterampilan dalam mengaplikasikan vektor dalam pemecahan masalah yang lebih kompleks. Latihan dan pemahaman yang mendalam akan membantu meningkatkan kemampuan kita dalam menggunakan vektor secara efektif.