Limit fungsi aljabar adalah konsep penting dalam matematika yang membahas perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam kumpulan contoh soal limit fungsi aljabar ini, kami telah menyusun beberapa situasi yang melibatkan limit fungsi aljabar. Mari kita eksplorasi contoh-contoh tersebut untuk melatih kemampuan kita dalam memahami, menghitung, dan menganalisis limit fungsi aljabar.

Soal 1

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 2}} (3x^2 + 2x - 1)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi nilai x = 2 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to 2}} (3x^2 + 2x - 1) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 \\ = 3 \cdot 4 + 4 - 1 \\ = 12 + 4 - 1 \\ = 15

Soal 2

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^2 - 1}}{{x - 1}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 0 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^2 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} \\ = \lim_{{x \to 0}} (x + 1) \\ = 0 + 1 \\ = 1

Soal 3

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 1}} (x^3 - 1)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi x = 1 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to 1}} (x^3 - 1) = (1)^3 - 1 \\ = 1 - 1 \\ = 0

Soal 4

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to -2}} \frac{{2x^2 + 3x - 2}}{{x + 1}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = -2 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to -2}} \frac{{2x^2 + 3x - 2}}{{x + 1}} = \lim_{{x \to -2}} \frac{{(2x - 1)(x + 2)}}{{x + 1}} \\ = \lim_{{x \to -2}} (2x - 1) \\ = 2(-2) - 1 \\ = -4 - 1 \\ = -5

Soal 5

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 3}} \frac{{x^2 - 9}}{{x - 3}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 3 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 3}} \frac{{x^2 - 9}}{{x - 3}} = \lim_{{x \to 3}} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x - 3}} \\ = \lim_{{x \to 3}} (x + 3) \\ = 3 + 3 \\ = 6

Soal 6

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to -3}} (2x^3 + 5x^2 - 3)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi nilai x = -3 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to -3}} (2x^3 + 5x^2 - 3) = 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 3 \\ = 2 \cdot -27 + 5 \cdot 9 - 3 \\ = -54 + 45 - 3 \\ = -12

Soal 7

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^3 - 8}}{{x - 2}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 0 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^3 - 8}}{{x - 2}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}}{{x - 2}} \\ = \lim_{{x \to 0}} (x^2 + 2x + 4) \\ = 0 + 0 + 4 \\ = 4

Soal 8

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 2}} (4x^3 - 8x + 1)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi x = 2 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to 2}} (4x^3 - 8x + 1) = 4(2)^3 - 8(2) + 1 \\ = 4 \cdot 8 - 16 + 1 \\ = 32 - 16 + 1 \\ = 17

Soal 9

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to -1}} \frac{{3x^2 + 2x + 1}}{{x + 1}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = -1 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to -1}} \frac{{3x^2 + 2x + 1}}{{x + 1}} = \lim_{{x \to -1}} \frac{{(x + 1)(3x + 1)}}{{x + 1}} \\ = \lim_{{x \to -1}} (3x + 1) \\ = 3(-1) + 1 \\ = -3 + 1 \\ = -2

Soal 10

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 1}} \frac{{x^3 - 1}}{{x - 1}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 1 karena akan membuat pembagi menjadi nol. Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 1}} \frac{{x^3 - 1}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \frac{{(x - 1)(x^2 + x + 1)}}{{x - 1}} \\ = \lim_{{x \to 1}} (x^2 + x + 1) \\ = 1 + 1 + 1 \\ = 3

Soal 11

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 4}} (2x^2 - 3x + 1)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi nilai x = 4 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to 4}} (2x^2 - 3x + 1) = 2(4)^2 - 3(4) + 1 \\ = 2 \cdot 16 - 12 + 1 \\ = 32 - 12 + 1 \\ = 21

Soal 12

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 1}} \frac{{x^2 - x}}{{x - 1}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 1 karena akan membuat pembagi menjadi nol.
Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 1}} \frac{{x^2 - x}}{{x - 1}} = \lim_{{x \to 1}} \frac{{x(x - 1)}}{{x - 1}} \\ = \lim_{{x \to 1}} x \\ = 1

Soal 13

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 0}} (x^3 + 3x^2 - 2)

Pembahasan

Kita bisa langsung substitusi x = 0 ke dalam fungsi:

\lim_{{x \to 0}} (x^3 + 3x^2 - 2) = (0)^3 + 3(0)^2 - 2 \\ = 0 + 0 - 2 \\ = -2

Soal 14

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 3}} \frac{{x^3 - 27}}{{x - 3}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 3 karena akan membuat pembagi menjadi nol.
Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 3}} \frac{{x^3 - 27}}{{x - 3}} = \lim_{{x \to 3}} \frac{{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}}{{x - 3}} \\ = \lim_{{x \to 3}} (x^2 + 3x + 9) \\ = 9 + 9 + 9 \\ = 27

Soal 15

Tentukan limit berikut:

\lim_{{x \to 2}} \frac{{x^3 - 8}}{{x - 2}}

Pembahasan

Kita tidak bisa langsung substitusi x = 2 karena akan membuat pembagi menjadi nol.
Namun, kita bisa melakukan faktorisasi pada pembilang:

\lim_{{x \to 2}} \frac{{x^3 - 8}}{{x - 2}} = \lim_{{x \to 2}} \frac{{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}}{{x - 2}} \\ = \lim_{{x \to 2}} (x^2 + 2x + 4) \\ = 4 + 4 + 4 \\ = 12

Melalui latihan dan pemecahan contoh soal limit fungsi aljabar, kita dapat meningkatkan pemahaman dan keterampilan kita dalam menganalisis perilaku fungsi saat mendekati suatu nilai. Dengan melihat berbagai contoh soal yang telah disusun, kita dapat mengasah kemampuan dalam menghitung limit, mengidentifikasi asimtot, dan memahami sifat-sifat limit fungsi aljabar secara umum.

Teruslah berlatih dan menjelajahi dunia limit fungsi aljabar untuk memperkuat pemahaman matematika kita.