Konsep eksponen Matematika sangat penting terutama pada penelitian atau perhitungan yang melibatkan sangat banyak angka. Misalnya dalam penelitian luar angkasa yang melibatkan jarak sangat jauh, para peneliti akan menggunakan eksponen untuk menyatakan jarak dari benda-benda luar angkasa.

Daftar Isi show

Pengertian Eksponen Matematika

Secara konsep, eksponen dapat didefinisikan sebagai bentuk perkalian maupun pembagian dari suatu bilangan dengan besaran yang direpetisi atau diulang-ulang. Bisa dikatakan eksponen adalah perkalian berulang-ulang dengan pengulangan sesuai dengan angka pada pangkatnya.

Di dalam eksponen terkandung bentuk perpangkatan maupun bentuk akar yang merupakan kebalikan dari pangkat. Untuk memahami konsep eksponen secara utuh, maka dibutuhkan pemahaman menyeluruh terkait sifat-sifat dan bentuk eksponen.

Bentuk umum eksponen dapat dituliskan sebagai berikut:

bⁿ = b x b x b x b x b x … x b (b dikali b sebanyak n faktor)

Sifat-Sifat Eksponen

Untuk dapat melakukan perhitungan yang melibatkan eksponen, maka harus dipahami beberapa sifat eksponen atau perpangkatan yang penting sebagai berikut:

Perkalian Eksponen yang Memiliki Basis Sama

b^m x bⁿ = b^{m + n}

Perkalian eksponen yang mempunyai basis sama misal b, maka cukup menambahkan pangkatnya saja untuk kemudian baru dihitung berapa nilai desimalnya. Berikut contoh soal perkalian eksponen:

2³ x 2²
= 2³⁺²
= 2⁵
= 32

Pembagian Eksponen yang Memiliki Basis Sama

b^m : bⁿ = b^{m – n}

Pembagian eksponen yang mempunyai basis sama misal b, maka cukup mengurangi pangkat yang ada di depan (kiri) dengan pangkat dari bilangan pembagi di sisi kanan. Selanjutnya baru dihitung berapa nilai desimalnya. Berikut contoh soal pembagian eksponen:

2⁶ : 2³
= 2^6-3
= 2³
= 8

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Pada perpangkatan bilangan eksponen, maka cara menghitungnya adalah dengan mengalikan kedua pangkat tersebut.

(b^m)ⁿ = b^{m x n}

Sebagai contoh:

(5²)³
= 5^{2 x 3}
= 5⁶
= 15625

Perkalian Bilangan Dalam Kurung yang Dipangkatkan

Pada perkalian dua buah bilangan atau lebih di dalam kurung yang dipangkatkan, maka masing-masing dari bilangan dipangkatkan dengan faktor pangkat yang sama. Cara menghitung bisa dengan mengalikan bilangan di dalam kurung dulu baru dipangkatkan atau dipangkatkan masing-masing kemudian dikali.

(c . d)ⁿ = cⁿ x dⁿ

Contoh soal:

(2 . 5)² = 2² x 5²
(10)² = 4 x 25
100 = 100 (cara menghitung bisa dikalikan di dalam kurung dulu atau dipangkatkan masing-masing)

Pembagian Bilangan Dalam Kurung yang Dipangkatkan

Pada pembagian dua buah bilangan di dalam kurung yang dipangkatkan, maka masing-masing dari bilangan dipangkatkan dengan faktor pangkat yang sama. Cara menghitung bisa dengan membagi bilangan di dalam kurung baru dipangkatkan atau dipangkatkan masing-masing kemudian dibagi.

Contoh soal:

9 = 9 (cara menghitung bisa dengan membagi bilangan di dalam kurung atau dipangkatkan masing-masing)

Bilangan Berpangkat Pada Pecahan

Pada bilangan berpangkat sebagai penyebut dari pecahan yakni bⁿ pada pecahan

, maka dapat diubah bentuknya menjadi bukan bentuk pecahan. Jika pangkat bernilai positif, saat diubah akan berubah tanda menjadi negatif. Jika pangkat awalnya positif, maka diubah menjadi positif.

Contohnya pada pecahan:

Pengakaran Bilangan Berpangkatan

Apabila b adalah basis bilangan berpangkat x yang diakarkan oleh y, apabila diubah jadi bentuk bilangan eksponen, maka akar y menjadi penyebutnya dan pangkat x menjadi pembilangnya. Syaratnya nilai y sebagai penyebut harus lebih besar atau sama dengan

Berikut bentuk persamaannya:

Nilai Bilangan Berpangkat 0

Apabila terdapat bilangan yang dipangkatkan oleh 0, maka nilainya sama dengan 1 dengan syarat bahwa bilangan yang dipangkatkan tidak boleh sama dengan 0. Jika bilangan yang dipangkatkan = 0 maka nilainya tidak terdefinisi.

b⁰ = 1, syarat b ≠ 0, jika b = 0 maka nilainya tidak terdefinisi.

Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen merupakan sebuah fungsi f (x) = a^x, yang mana nilai a > 0 dan b ≠ 1, serta pangkat x merupakan bilangan Real. Fungsi eksponen mempunyai beberapa sifat sebagai berikut:

Kurva eksponen ada di atas sumbu X
Kurva eksponen memotong sumbu secara tegak lurus hanya di titik (0, 1)
Bentuk kurva eksponen monoton turun dari sisi kiri ke kanan untuk 0 < a < 1
Bentuk kurva eksponen monoton naik dari bagian kiri ke kanan untuk nilai a > 1
Kurva eksponen memiliki asimtot datar Y = 0
Kurva eksponen memiliki fungsi invers

Persamaan Fungsi Eksponen

Bentuk persamaan fungsi eksponen berbasis konstanta terbagi menjadi dua macam yakni:

1. Apabila a^f(x) = a^g(x), dengan nilai a ≠ 1 serta a > 0, sehingga fungsi g (x) = f (x)

2. Apabila a^f(x) = b^f(x),dengan nilai a dan b ≠ 1 serta a, b > 0, sehingga fungsi f (x) = 0

3. Apabila g(x)^f(x) = g(x)^h(x),maka berlaku empat kemungkinan yakni:

f (x) = h (x)
g (x) = 1
g (x) = 0, dengan syaratnya adalah f (x), h (x) > 0
g (x) = -1, dengan syaratnya adalah f (x) dan h (x) sama-sama bernilai ganjil atau genap

Pertidaksamaan Fungsi Eksponen

Pertidaksamaan fungsi eksponen merupakan bentuk pertidaksamaan jenis eksponen yang mempunyai variabel. Bentuk pertidaksamaan dihubungkan oleh notasi

Berikut bentuk umum pertidaksamaan eksponen:

g^f(x) = b^h(x) < c yang mana nilai g > 0, dengan syarat g ≠ 1 serta c ≠ 0.

Contoh Soal Fungsi Eksponen

Tentukan berapakah nilai variabel b di bawah ini:

a. (4b³)² : 2b⁴ = 32

Pembahasan

Jawab:

Sehingga variabel b sama dengan 2

Tentukan berapakah solusi dari persamaan Apabila 9^y-2 = 3^y+2

Pembahasan

Jawab:

Pada persamaan 9^y-2 = 3^y+2 untuk mendapatkan solusinya maka basis pada kedua ruas harus disamakan terlebih dahulu sehingga pangkatnya bisa dioperasikan menggunakan sifat eksponen.

Pelajari Juga : Kumpulan Contoh Soal Eksponen & Pembahasannya

Kesimpulan

Fungsi eksponen memiliki manfaat yang sangat luas dalam kehidupan terutama pada penelitian saintifik. Para ilmuwan yang meneliti luar angkasa harus melakukan pengukuran antar objek yang jaraknya mencapai bermilyar kilometer. Eksponen membantu dalam penulisan angka sehingga lebih sederhana.