Bilangan Real: Pengertian, Sistem, Contoh Soal

Pada operasi Matematika tentunya akan melibatkan berbagai jenis bilangan di dalamnya, salah satunya adalah bilangan real. Bilangan real termasuk ke dalam salah satu dari dua klasifikasi besar pada sistem bilangan bersama bilangan imajiner.

Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah kebalikan dari bilangan imajiner yang termasuk ke dalam salah satu klasifikasi sistem bilangan. Bilangan real adalah sistem bilangan yang ditemui pada kehidupan sehari-hari sementara bilangan imajiner sesuai namanya adalah bilangan yang secara teori Matematika bernilai tidak mungkin.

Bilangan imajiner sendiri adalah bilangan real yang kemudian dikali dengan unsur imajiner yakni √-1. Bilangan imajiner √-1 yang dinotasikan dengan i tidak mungkin karena tidak ada akar dari -1. Bilangan di dalam akar harus selalu positif karena merupakan hasil perpangkatan dua atau kuadrat yang selalu positif.

Bilangan real yang merupakan bilangan nyata terdiri dari gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real disimbolkan dengan notasi R yang terdiri dari berbagai jenis bilangan yang biasa ditemukan di kehidupan sehari-hari.

Bilangan real meliputi bilangan bulat, bilangan asli, bilangan desimal, pecahan dan lain yang merupakan bilangan rasional. Pada Gambar 1 di bawah ini merupakan diagram Venn yang menunjukkan himpunan bilangan real yang terdiri dari berbagai himpunan bilangan.

Keterangan:

R = Himpunan dari bilangan Real
N = Himpunan dari bilangan asli (natural)
Q = Himpunan dari bilangan rasional
Z = Himpunan dari bilangan bulat

Sifat Bilangan Real

Bilangan real mempunyai beberapa sifat-sifat utama yakni:

1. Sifat Aljabar

Sifat aljabar pada bilangan real adalah operasi biner yang melibatkan beberapa operasi perhitungan seperti sifat komutatif, sifat asosiatif, dan sebagainya.

• Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian atau pertukaran pada penjumlahan seperti c + d = d + c untuk semua c dan d bilangan real

• Sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian adalah pengelompokan bilangan (c + d) + a = c + (d + a)

• Sifat eksistensi elemen nol yang mana 0 termasuk bilangan real sedemikian sehingga 0 + c = c dan c + 0 = c

• Sifat invers penjumlahan yang mana jika bilangan yang sama namun bernilai negatif dijumlahkan dengan yang positif maka bernilai nol, seperti c + (-c) = 0

• Sifat eksistensi elemen unit 1 yang mana jika suatu bilangan dikalikan dengan 1 maka menghasilkan bilangan itu sendiri seperti 2 x 1 = 2 dan 1 x 3 = 3.

• Sifat distributif perkalian yakni c x (b + a) = (c . b) + (c . a)

2. Sifat Urutan

• Trikotomi yakni apabila variabel x dan y merupakan bilangan real, sehingga pasti ada salah satu di antara tiga relasi berikut:
  x > y, x < y, x = y

• Sifat transitif yakni sifat hubungan antara bilangan yang mana apabila c berhubungan dengan d, kemudian d berhubungan e, maka c berhubungan dengan e secara langsung. Misalnya c < d, d < e, maka c < e

• Penambahan dan pengurangan, misalnya apabila a < y, maka a + z < y + z atau a – z < y – z.

• Operasi perkalian dengan bilangan negatif dan positif. Perkalian dengan negatif akan mengubah tanda pada pertidaksamaan. Misalnya:
  Apabila c < d dengan g positif, maka c.g < d.g
  Apabila c < d dengan g negatif, maka c.g > d.g

3. Sifat Kelengkapan

Sifat kelengkapan pada himpunan bilangan real menyatakan bahwa ada banyak bilangan real pada garis bilangan yang mengisinya secara lengkap sehingga tidak ada celah sedikit pun di antaranya.

Contoh Penerapan Bilangan Real

Bilangan real diterapkan di berbagai bidang dalam kehidupan karena merupakan bilangan nyata. Semua bilangan yang sering kita gunakan adalah bilangan real seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan desimal dan pecahan.

Bilangan real digunakan pada persamaan di bidang fisika, matematika, kimia, ekonomi dan sebagainya. Bilangan real juga digunakan pada penulisan nominal mata uang, pembukuan, dan lainnya.

Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang ditulis sebagai perbandingan bilangan bulat a dan b dalam bentuk pecahan a/b dengan b tidak sama dengan 0.

Apabila bilangan rasional ditulis dalam bentuk pecahan desimal maka akan terbentuk bilangan yang angkanya berhenti di suatu nilai atau apabila tidak berhenti maka membentuk pola bilangan tertentu. Bilangan rasional terdiri oleh bilangan bulat, pecahan, bilangan cacah, bilangan asli dan lainnya.

Bilangan irasional termasuk bilangan real berbentuk pecahan desimal yang tidak berhingga, artinya angka-angkanya tidak akan pernah berhenti dan tidak memiliki pola. Bilangan irasional contohnya adalah akar 2, kontanta phi, hingga bilangan euler (e) yang nilainya e = 2,718281828… (dan selanjutnya tidak berhenti).  

Contoh Bilangan Real

Bilangan real terdiri dari berbagai macam bilangan yakni bilangan rasional dan irasional yang kemudian dibagi lagi lebih rinci ke jenis bilangan lainnya.

1. Bilangan irasional seperti 2 = 1,4142135…. (tidak berhenti), π = 22/7 = 3,141592653…. (dan seterusnya)
2. Bilangan cacah seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … dan seterusnya
3. Bilangan bulat negatif -1, -2, -3, -4, -5, … dan seterusnya
4. Bilangan netral yakni bilangan 0
5. Bilangan asli yakni bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya
6. Bilangan pecahan seperti ½, 1/3, ¼, 2/5, 3/5 dan selanjutnya
7. Bilangan prima adalah bilangan yang faktor pembaginya hanya 1 dan bilangan itu sendiri yakni 2, 3, 5, 7, 11 dan selanjutnya
8. Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki faktor pembagi lebih dari dua seperti 4, 6, 8, 10, 14, 16 dan selanjutnya.

Soal Bilangan Real

Selesaikan operasi pertidaksamaan berikut ini dan tentukan nilai x sesuai bilangan real.

a. 2x – 8 < 3x + 7
b. –7x + 1 > 10x – 4
c. 3x + 7 = 10

Kesimpulan

Bilangan real termasuk salah satu dari 2 klasifikasi utama pada sistem bilangan di samping bilangan imajiner. Berbagai jenis bilangan yang ditemukan di kehidupan sehari-hari termasuk ke dalam jenis bilangan real seperti bilangan pecahan, bilangan bulat, bilangan desimal dan sebagainya.