KPK dan FPB: Definisi, Cara Mencari, Contoh Soal

KPK dan FPB merupakan materi Matematika yang sangat penting dan sudah diajarkan sejak di bangku Sekolah Dasar. Materi ini akan mendasari berbagai materi-materi Matematika ataupun perhitungan lainnya di sekolah lanjut.

Memahami Konsep Faktor Prima untuk KPK & FPB

Sebelum bisa masuk ke dalam materi KPK dan FPB, penting untuk memahami konsep faktorisasi dan faktor prima terlebih dahulu. Faktor prima merupakan faktor suatu bilangan yang termasuk ke dalam bilangan prima.

Bilangan prima sendiri merupakan salah satu jenis bilangan dalam Matematika yang termasuk bilangan bulat positif. Bilangan prima hanya memiliki 2 faktor saja yakni bilangan itu sendiri serta bilangan 1. Bilangan prima dimulai dari 2, 3, 5, 7, 11 dan seterusnya yang tidak bisa dibagi 2.

Sebagai contoh, untuk mencari faktor prima dari 20 pertama-tama harus dicari terlebih dahulu berapa faktor dari 20 yakni 1, 2, 4, 5, 10 dan 20. Dari keenam faktor tersebut, yang merupakan bilangan prima hanya 2 dan 5 saja sehingga faktor prima dari 20 adalah 2 dan 5.

Untuk mencari faktor prima bisa menggunakan pohon faktor. Untuk membuat pohon faktor sangat mudah dan sederhana. Pertama-tama bilangan yang akan difaktorisasi ditulis paling atas kemudian buat 2 cabang yang mana bilangan prima di sisi kiri dan hasil pembagian di cabang sebelah kanan.

Selanjutnya hasil pembagian yang ada di sisi kanan tersebut kemudian dibuat 2 cabang lagi dan dibagi menggunakan bilangan prima dimulai dari yang paling kecil yakni 2, 3, 5, 7 dan selanjutnya sampai bilangan tersebut habis dan menghasilkan bilangan prima.

Gambar 1 berikut menunjukkan contoh penggunaan pohon faktor untuk bilangan 36.  

Pada Gambar 1 tersebut terlihat pohon faktor untuk bilangan 36. Angka yang ada di dalam lingkaran merupakan bilangan prima sekaligus faktor dari 36. Sehingga faktorisasi prima dari 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 36 dengan faktor prima 36 adalah 2 dan 3.

Menentukan faktor prima dengan pohon faktor harus dilihat apabila terdapat bilangan prima yang muncul lebih dari satu kali, maka penulisan faktor prima untuk bilangan tersebut ditulis sekali saja. Seperti pada contoh, bilangan prima 2 dan 3 muncul lebih dari sekali namun faktor primanya hanya 2 dan 3 saja.

Pengertian KPK

Dalam materi Matematika dikenal istilah KPK dan FPB yang berkaitan dengan faktorisasi dan kelipatan bilangan. Kedua istilah ini mempunyai makna yang berbeda. KPK atau Kelipatan Persekutuan Terkecil merupakan bilangan kelipatan paling kecil yang sama-sama muncul di dua bilangan atau lebih.

Sehingga KPK bisa diartikan sebagai angka kelipatan paling kecil yang sama-sama dimiliki oleh dua buah bilangan atau lebih. Sebagai contoh, ada dua buah bilangan yakni 3 dan 5 maka nilai KPK atau kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 3 dan 5 adalah 15.

Cara Mencari Nilai KPK

• Metode Sederhana

Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil atau KPK dari dua bilangan bisa dilakukan hanya dengan mengurutkan kelipatan dari masing-masing bilangan tersebut. Sebagai contoh, bilangan 7 dan 5 dicari nilai Kelipatan Persekutuan Terkecilnya dengan mengurutkan kelipatan kedua bilangan tersebut:

Pertama-tama dilihat terlebih dahulu kelipatan persekutuan dari 7 dan 5. Kelipatan persekutuan sendiri merupakan kelipatan yang nilainya sama antara kedua bilangan. Terlihat kelipatan persekutuannya adalah 35 karena merupakan bilangan kelipatan paling kecil.

• Metode Faktorial

Metode faktorial adalah dengan menggunakan pohon faktor seperti yang sudah dijelaskan di atas. Selanjutnya tentukan faktor prima dari pohon faktor kedua bilangan. Untuk menentukan nilai KPK, maka ambil seluruh faktor prima. Apabila terdapat faktor prima yang sama, maka ambil faktor pangkat terbesar.

Sebagai contoh, tentukan KPK dari 27 dan 36. Pohon faktor dari 27 dan 36 tampak pada Gambar 2 di bawah.

Faktor prima dari 27 adalah 3 x 3 x 3 atau 3³
Faktor prima dari 36 adalah 2 x 2 x 3 x 3 atau 2² x 3²

Untuk menentukan nilai KPK ambil seluruh faktor prima dengan pangkat terbesar, yakni 2² x 3³ = 4 x 27 = 108. Sehingga KPK dari 27 dan 36 adalah 108.

Pengertian FPB

FPB berarti Faktor Persekutuan Terbesar yang bermakna bilangan bulat terbesar yang dapat membagi dua atau lebih bilangan positif hingga habis.

Oleh karena itu untuk bisa menentukan nilai FPB dari beberapa bilangan, maka diperlukan pengetahuan mengenai faktorisasi bilangan dan faktor prima yang sudah dijelaskan di atas.

Penentuan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) bisa melalui beberapa cara baik itu metode irisan himpunan, metode algoritma pembagian, dan metode faktorisasi prima.

Cara Mencari Nilai FPB

• Metode Sederhana

Metode sederhana mencari FPB adalah dengan menuliskan faktor dari kedua bilangan. Selanjutnya dicari faktor persekutuan yakni faktor yang sama-sama muncul di kedua bilangan. Pilih faktor persekutuan paling besar sebagai nilai FPB. Misal tentukan FPB 9 dan 15

Faktor dari 9: 1, 3, 9
Faktor dari 15: 1, 3, 5, 15
FPB dari 9 dan 15: 3

• Metode Faktorial

Metode faktorial untuk mencari KPK dan FPB sebenarnya hampir sama. Pertama-tama buat pohon faktor dari bilangan yang dicari nilai FPB. Selanjutnya tentukan faktor primanya dan ambil faktor prima yang sama dengan pangkat paling kecil kedua bilangan.

Sebagai contoh, tentukan FPB dari bilangan 27 dan 36 dengan pohon faktor seperti di Gambar 2 di atas. Selanjutnya ambil faktor prima yang sama dengan pangkat paling kecil kedua bilangan yakni 3² atau 9.

Contoh Soal KPK dan FPB

Bayu dan Anita sangat senang membaca buku cerita. Bayu dan Anita sering belajar sambal meminjam sebuah buku dari perpustakaan sekolah. Bayu meminjam buku setiap 5 hari sekali sementara Anita meminjam buku setiap 6 hari sekali. Pada tanggal 1 Januari keduanya meminjam buku bersama-sama.

Tentukan pada tanggal berapa keduanya akan meminjam buku lagi di perpustakaan sekolah?

Untuk memahami KPK dan FPB, pertama-tama harus memahami konsep faktor dan faktorisasi prima. Untuk mencari KPK dan FPB bisa menggunakan cara sederhana dan metode faktorial. Cara sederhana mencari KPK adalah dengan mencari angka kelipatan kedua bilangan yang pertama kali muncul.