Himpunan: Pengertian, Macam, Operasi, Contoh Soal & Pembahasan

Konsep himpunan sangat banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep ini berguna dalam melakukan pengelompokan beberapa kumpulan objek yang memiliki ciri-ciri khusus tertentu atau objek sejenis. Sebagai contoh dibuat himpunan hewan mamalia berkaki empat yang terdiri dari list nama hewan.

Himpunan dalam materi Matematika terdiri dari berbagai jenis seperti himpunan kosong, himpunan semesta, dan himpunan bagian. Pemahaman mengenai konsep himpunan dibutuhkan dalam berbagai bidang kehidupan seperti ekonomi, riset, kesehatan dan lainnya.  

Pengertian

Himpunan adalah sekumpulan objek yang serupa dan didefinisikan dengan jelas tanpa ada kesamaran. Pendefinisian anggota elemen himpunan harus dilakukan dengan jelas yakni memiliki standar yang terukur, alias tidak relative (subjektif).

Anggota atau elemen himpunan merupakan objek yang ada di dalam himpunan. Penulisan anggota atau elemen himpunan menggunakan tanda kurung kurawal {…}. Berikut ini adalah beberapa contoh himpunan:

  • Himpunan siswa kelas 7 C yang senang bermain voli
  • Himpunan hewan mamalia yang hidup di air
  • Himpunan tumbuhan berakar serabut
  • Himpunan siswa kelas III dengan berat badan lebih dari 30 kg

Berbagai contoh kasus di atas merupakan himpunan karena pendefinisiannya dilakukan dengan jelas dan juga terukur. Untuk memudahkan membedakan contoh himpunan dan bukan himpunan, di bawah ini adalah contoh kasus yang bukan merupakan himpunan:

  • Himpunan siswi yang baik hati
  • Himpunan baju gamis yang indah
  • Himpunan rumah yang besar
  • Himpunan tempat wisata yang mengasyikkan

Contoh di atas tidak bisa dikatakan sebagai himpunan karena definisinya tidak terukur dan tidak jelas. Baik hati, indah, besar dan mengasyikkan adalah kata sifat yang subjektif atau bersifat relative.

Himpunan Kosong

Himpunan kosong merupakan jenis himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan { } atau bisa juga Ø dimana n (A) = 0. Agar mudah membayangkan himpunan kosong, berikut adalah contoh kasusnya:

B merupakan kumpulan dari bilangan prima kurang dari 2. Maka himpunan B merupakan himpunan kosong yang dituliskan dengan B = {} atau B = Ø karena tidak ada bilangan prima kurang dari 2 sehingga himpunan B tidak mempunyai elemen atau anggota.

Di bawah ini adalah contoh lain dari himpunan kosong:

a. Himpunan nama bulan dengan jumlah hari sebanyak 28 hari selain Februari
b. Himpunan bilangan asli kurang dari 1
c. Himpunan bilangan cacah kurang dari 0

Himpunan Semesta

Himpunan semesta merupakan himpunan yang di dalamnya memuat setiap anggota himpunan yang sedang digunakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf S yang juga disebut sebagai semesta pembicaraan.

Untuk memahami arti dari himpunan semesta, maka bisa digunakan permisalan berikut ini:

a. Himpunan A = {kuning, biru}
b. Himpunan B = {kuning, hijau}
c. Himpunan C = {biru, kuning, merah}

Himpunan C bisa dikatakan sebagai himpunan semesta dari himpunan A karena di dalamnya memuat seluruh anggota himpunan A. Sementara himpunan C bukan merupakan himpunan semesta dari himpunan B karena terdapat anggota B yang tidak ada di C yakni {hijau}.

Himpunan Bagian

Himpunan bagian juga sering disebut sebagai subset, yakni merupakan bagian dari himpunan semesta. Di dalam himpunan bagian memuat anggota atau elemen-elemen yang ada di dalam himpunan semesta. Sebagai contoh suatu himpunan semesta memuat elemen sebagai berikut:

S = {1, 3, 6}

Maka himpunan bagian dari himpunan semesta tersebut adalah: { }, {1}, {3}, {6}, {1, 3}, {1, 6}, {3, 6}, {1, 3, 6}. Himpunan bagian memuat himpunan kosong, himpunan bagian dengan satu anggota, dua anggota hingga tiga anggota.

Apabila himpunan semesta memuat lebih dari 3 anggota, maka himpunan bagian juga akan menyesuaikan. Notasi himpunan bagian adalah ⊂. Misalkan himpunan C adalah himpunan bagian dari D dapat dinotasikan dengan C ⊂ D. Maka untuk setiap x ϵ C berlaku di dalamnya x ϵ D.

Namun x ϵ D tidak berarti x ϵ C. Jika C bukan merupakan himpunan bagian D maka dinotasikan dengan C ⊄ D.

Operasi Himpunan

Operasi himpunan meliputi operasi irisan serta gabungan. Operasi irisan himpunan dinotasikan dengan ∩ sementara gabungan dinotasikan dengan U. Sebagai contoh ada dua himpunan C dan D berikut:

C = {1, 3, 5, 8, 9}

D = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}

C ∩ D = {3, 5, 8}

C U D = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}

Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian merupakan himpunan yang di dalamnya terdapat solusi permasalahan. Sebagai contoh soal operasi aljabar di bawah ini:

8x + 3 < 2x + 15 , x merupakan bilangan asli
8x – 2x < 15 – 3
6x < 12
x < 2
Maka himpunan penyelesaian {1}

Contoh Soal & Pembahasan

  • Soal 1

Tuliskan notasi pembentuk himpunan yang tepat dari beberapa himpunan yang ada di bawah ini:

a. P = {1, 3, 5, 7, 9}
b. A = {2}
c. C = Himpunan bilangan prima antara 21 dan 31

Pembahasan

a. P = {1, 3, 5, 7, 9}
P = {z : z < 10, z merupakan bilangan ganjil positif}

b. A = {2}
A = {y : y merupakan bilangan prima genap}

c. C = Himpunan bilangan prima antara 21 dan 31
C = {x : 21 < x < 31, x merupakan bilangan prima}

  • Soal 2

Suatu kelas 9 B SMP Negeri 3 Semarang memiliki 30 siswa yang harus mengikuti lomba perayaan ulang tahun kota Semarang. Di acara tersebut akan diadakan 2 macam lomba yakni lomba menari dan lomba membuat mading.

Dari kelas 9 B SMP Negeri 3 Semarang terdapat 15 orang yang mengikuti lomba membuat mading dan 12 orang ikut lomba menari, sementara 4 orang sisanya tidak ikut lomba sama sekali. Tentukan ada berapa orang siswa yang ikut lomba menari dan juga lomba membuat mading.

Pembahasan

Untuk memudahkan, jumlah siswa kelas 9 B SMP Negeri 3 Semarang yang ikut kedua lomba dilambangkan dengan x. Sehingga jumlah siswa yang hanya ikut salah satu lomba saja dapat dituliskan seperti berikut:

Jumlah siswa yang hanya ikut lomba menari = 12 – x
Jumlah siswa yang hanya ikut lomba membuat mading = 15 – x
Jumlah siswa yang tidak ikut berpartisipasi dalam lomba = 4

Apabila jumlah keseluruhan siswa kelas 9 B SMP Negeri 3 Semarang ada 30 orang, maka bisa dituliskan persamaan sebagai berikut:

30 = (12 – x) + (15 – x) + x + 4
30 = 31 – x
x = 31 – 30
x = 1 orang

Sehingga terdapat satu orang siswa kelas 9 B yang mengikuti lomba membuat mading dan lomba menari.

Himpunan terdiri dari himpunan kosong, himpunan semesta, dan himpunan bagian. Operasi himpunan dasar meliputi operasi gabungan dan juga operasi irisan. Untuk dapat menentukan himpunan penyelesaian, maka harus dipahami konsep matematika lainnya seperti bilangan.

Kembali ke Materi Matematika