Dalam dunia statistika, rumus frekuensi harapan menjadi salah satu konsep yang penting untuk dipahami. Frekuensi harapan adalah nilai yang diharapkan atau rata-rata dari suatu variabel acak berdasarkan distribusi probabilitasnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang rumus frekuensi harapan secara mendalam.

Daftar Isi show

Pengertian Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan, atau yang juga dikenal sebagai nilai harapan, adalah nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu variabel acak jika kita melakukan percobaan berkali-kali dalam jangka waktu yang lama. Nilai ini dihitung berdasarkan probabilitas masing-masing hasil yang mungkin.

Rumus Frekuensi Harapan

Rumus frekuensi harapan untuk suatu variabel acak $X$ dengan nilai $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ dan probabilitas masing-masing nilai $p_{1}, p_{2}, …, p_{n}$ adalah sebagai berikut:

E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + … + x_{n}p_{n}

Dengan kata lain, kita mengalikan setiap nilai variabel acak dengan probabilitasnya, lalu menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.

Contoh Soal Frekuensi Harapan

Berikut ini adalah beberapa contoh soal tentang frekuensi harapan, lengkap dengan penjelasan dan jawabannya:

Soal 1

Sebuah dadu adil dengan enam sisi bernomor 1 hingga 6 dilempar. Tentukan frekuensi harapan dari hasil lemparan dadu tersebut!

Pembahasan

Karena dadu tersebut adil, maka probabilitas masing-masing hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6) adalah sama, yaitu $\frac{1}{6}$ . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:

E(X) = 1*\left(\frac{1}{6}\right) + 2*\left(\frac{1}{6}\right) + 3*\left(\frac{1}{6}\right) + 4*\left(\frac{1}{6}\right) + 5*\left(\frac{1}{6}\right) + 6*\left(\frac{1}{6}\right) = 3.5

Jadi, frekuensi harapan dari hasil lemparan dadu tersebut adalah 3.5.

Soal 2

Sebuah koin adil dilempar. Jika muncul kepala, Anda mendapatkan Rp10.000, dan jika muncul angka, Anda kehilangan Rp5.000. Tentukan frekuensi harapan dari hasil lemparan koin tersebut!

Pembahasan

Karena koin tersebut adil, maka probabilitas masing-masing hasil (kepala dan angka) adalah sama, yaitu $\frac{1}{2}$ . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:

E(X) = 10000*\left(\frac{1}{2}\right) + (-5000)*\left(\frac{1}{2}\right) = 2500

Jadi, frekuensi harapan dari hasil lemparan koin tersebut adalah Rp2.500.

Soal 3

Sebuah tas berisi 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau. Jika bola merah bernilai 5, bola biru bernilai 3, dan bola hijau bernilai 1, tentukan frekuensi harapan dari nilai bola yang diambil secara acak dari tas tersebut!

Pembahasan

Probabilitas mengambil bola merah adalah $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , bola biru adalah $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , dan bola hijau adalah $\frac{1}{6}$ . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:

E(X) = 5*\left(\frac{1}{2}\right) + 3*\left(\frac{1}{3}\right) + 1*\left(\frac{1}{6}\right) = 3.5

Jadi, frekuensi harapan dari nilai bola yang diambil adalah 3.5.

Soal 4

Sebuah roda berputar dengan 4 sektor yang sama besar. Sektor 1 bernilai 10, sektor 2 bernilai 20, sektor 3 bernilai 30, dan sektor 4 bernilai 40. Tentukan frekuensi harapan dari nilai sektor yang ditunjuk oleh jarum setelah roda berhenti berputar!

Pembahasan

Karena setiap sektor memiliki peluang yang sama untuk ditunjuk oleh jarum, maka probabilitas masing-masing sektor adalah $\frac{1}{4}$ . Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:

E(X) = 10*\left(\frac{1}{4}\right) + 20*\left(\frac{1}{4}\right) + 30*\left(\frac{1}{4}\right) + 40*\left(\frac{1}{4}\right) = 25

Jadi, frekuensi harapan dari nilai sektor yang ditunjuk oleh jarum adalah 25.

Soal 5

Sebuah dadu tidak adil dengan enam sisi bernomor 1 hingga 6 dilempar. Probabilitas masing-masing hasil adalah sebagai berikut: 1 ( $\frac{1}{8}$ ), 2 ( $\frac{1}{8}$ ), 3 ( $\frac{1}{8}$ ), 4 ( $\frac{1}{8}$ ), 5 ( $\frac{1}{4}$ ), dan 6 ( $\frac{1}{4}$ ). Tentukan frekuensi harapan dari hasil lemparan dadu tersebut!

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus frekuensi harapan, kita dapat menghitung frekuensi harapan sebagai berikut:

E(X) = 1*\left(\frac{1}{8}\right) + 2*\left(\frac{1}{8}\right) + 3*\left(\frac{1}{8}\right) + 4*\left(\frac{1}{8}\right) + 5*\left(\frac{1}{4}\right) + 6*\left(\frac{1}{4}\right) = 4.25

Jadi, frekuensi harapan dari hasil lemparan dadu tersebut adalah 4.25.

Kesimpulan

Rumus frekuensi harapan adalah alat yang penting dalam statistika dan teori probabilitas. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menghitung nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu variabel acak berdasarkan distribusi probabilitasnya. Jadi, jangan lupa untuk selalu belajar dan berlatih, karena dengan begitu, kita dapat terus meningkatkan pemahaman kita tentang dunia statistika.