Kumpulan Contoh Soal Fungsi Kuadrat & Pembahasannya

Untuk mencari nilai f(3), kita hanya perlu menggantikan semua x dalam persamaan dengan 3:

Fungsi kuadrat g(x) akan memiliki akar jika diskriminan b^{2} - 4ac lebih besar atau sama dengan 0.

Dalam hal ini, a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga diskriminan adalah (-4)^{2} - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0.

Oleh karena itu, fungsi ini memiliki akar yang sama dan akar tersebut dapat ditemukan dengan rumus -b/(2a) = 4/2 = 2.

Titik puncak sebuah fungsi kuadrat berbentuk ax^{2} + bx + c dapat ditemukan dengan rumus (-b/2a, f(-b/2a)).

Dalam hal ini, -b/2a = 12/6 = 2, sehingga koordinat x titik puncak adalah 2.

Substitusikan ini ke dalam fungsi untuk menemukan koordinat y titik puncak: h(2) = 3(2)^{2} - 12(2) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0.

Oleh karena itu, titik puncak adalah (2, 0).

Untuk menemukan nilai x yang membuat k(x) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat -x^{2} + 6x - 9 = 0.

Menggunakan rumus kuadrat, x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), kita dapatkan x = [-(6) \pm \sqrt{(6)^{2} - 4(-1)(-9)}]/[2(-1)], yang memberikan solusi x = 3 \pm \sqrt{0}, sehingga x = 3.

Sebuah parabola akan membuka ke atas jika koefisien x^{2} (yaitu, a) positif, dan akan membuka ke bawah jika koefisien x^{2} negatif.

Dalam hal ini, a = 5, yang merupakan nilai positif, jadi parabola membuka ke atas.

Ketinggian maksimum diperoleh pada puncak parabola, yang koordinat x-nya ditemukan dengan rumus -b/(2a).

Substitusikan nilai b = 20 dan a = -4.9 ke dalam rumus, kita dapatkan t = -20/(2 \times -4.9) = 2.04 detik.

Substitusikan t = 2.04 detik ke dalam fungsi untuk mendapatkan ketinggian maksimum: h(2.04) = -4.9(2.04)^{2} + 20(2.04) = 20.4 meter.

Untuk menentukan akar fungsi ini, kita perlu menghitung diskriminan b^{2} - 4ac. Jika diskriminan ini lebih besar atau sama dengan 0, maka fungsi memiliki akar.

Dalam hal ini, a = -2, b = 8, dan c = -3, sehingga diskriminan adalah (8)^{2} - 4(-2)(-3) = 64 - 24 = 40.

Oleh karena itu, fungsi ini memiliki akar yang dapat ditemukan dengan rumus kuadrat, x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), yang menghasilkan solusi x = 1 \pm \sqrt{10}.

Titik terendah dari fungsi kuadrat (puncak jika parabola membuka ke bawah) dapat ditemukan dengan rumus -b/(2a) untuk koordinat x dan substitusi ke dalam fungsi untuk koordinat y.

Dalam hal ini, -b/2a = -6/(2 \times 3) = -1, dan g(-1) = 3(-1)^{2} + 6(-1) + 3 = 3 - 6 + 3 = 0.

Oleh karena itu, titik terendah adalah (-1, 0).

Untuk menemukan nilai x yang membuat h(x) = 10, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2x^{2} + 4x + 2 = 10, atau 2x^{2} + 4x - 8 = 0.

Menggunakan rumus kuadrat, kita dapatkan x = [-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}]/(2a), yang memberikan solusi x = -1 \pm \sqrt{5}.

Parabola akan membuka ke atas jika koefisien x^{2} (yaitu, a) positif, dan akan membuka ke bawah jika koefisien x^{2} negatif.

Dalam hal ini, a = 1, yang merupakan nilai positif, jadi parabola membuka ke atas.

Turunan dari suatu fungsi kuadrat f(x) = ax^{2} + bx + c diberikan oleh f'(x) = 2ax + b.

Untuk f(x) = 2x^{2} - 6x + 5, turunannya adalah f'(x) = 4x - 6.

Mengatur ini sama dengan 0 memberikan kita persamaan 4x - 6 = 0, yang ketika diselesaikan memberikan x = 1.5.

Kolam berbentuk parabolik akan digambarkan oleh suatu fungsi kuadrat. Karena bagian paling dalam kolam berada di tengah (pada x = 5), maka fungsi kuadrat akan memiliki bentuk f(x) = a(x - h)^{2} + k, di mana h adalah 5 (titik tengah kolam) dan k adalah -2.5 (kedalaman maksimum kolam).

Selain itu, kita tahu bahwa kolam memiliki lebar 10 meter, yang berarti parabola menyinggung sumbu x pada x = 0 dan x = 10. Dengan demikian, kita dapat membuat sistem persamaan berikut berdasarkan bentuk fungsi kuadrat tersebut:

Dengan memecahkan sistem ini, kita dapat menemukan bahwa a = 0.1.

Oleh karena itu, fungsi kuadrat yang menggambarkan bentuk kolam adalah f(x) = 0.1(x - 5)^{2} - 2.5.