Logaritma sebagai bagian penting dari matematika, memainkan peran kunci dalam banyak bidang, termasuk sains, teknik, dan komputasi. Mengerti dan mampu menyelesaikan soal logaritma dengan tepat adalah keterampilan penting yang perlu dikuasai.

Berikut adalah kumpulan contoh soal logaritma yang mencakup berbagai aspek dari logaritma, termasuk menemukan nilai logaritma, menyelesaikan persamaan logaritma, dan menggunakan hukum logaritma.

Setiap soal dilengkapi dengan penjelasan rinci yang mencakup proses berpikir yang digunakan untuk mencapai solusi, sehingga kamu tidak hanya mendapatkan jawaban, tetapi juga pemahaman yang mendalam tentang bagaimana cara mencapainya.

Soal 1

Hitunglah nilai dari $log_{2}(64)$ .

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari $log_{2}(64)$ , kita harus menemukan pangkat apa yang harus kita naikkan 2 sehingga hasilnya adalah 64.

Logaritma berbasis 2 dari 64 adalah sama dengan nilai $n$ sedemikian rupa sehingga $2^n = 64$ . Kita tahu bahwa $2^6 = 64$ , sehingga $log_{2}(64) = 6$ .

Soal 2

Jika $log_{10}(x) = 5$ , tentukan nilai $x$ .

Pembahasan

Ketika dikatakan bahwa $log_{10}(x) = 5$ , ini berarti kita mencari nilai $x$ sedemikian rupa sehingga 10 dapat dinaikkan ke pangkat $x$ untuk menghasilkan 5.

Ini adalah bentuk lain untuk menulis $10^5 = x$ . Jadi kita hitung $10^5$ , yang hasilnya adalah 100000, sehingga $x = 100000$ .

Soal 3

Selesaikan persamaan logaritma $2log_{10}(x) = 6$ .

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $2log_{10}(x) = 6$ , kita harus membagi kedua sisi persamaan dengan 2. Maka kita akan mendapatkan $log_{10}(x) = 3$ .

Persamaan ini berarti 10 perlu dinaikkan ke pangkat berapa untuk mendapatkan $x$ . Dalam bentuk eksponensial, persamaan ini menjadi $10^3 = x$ .

Karena $10^3 = 1000$ , maka $x = 1000$ .

Soal 4

Selesaikan persamaan berikut: $log_{10}(x) + log_{10}(y) = 3$ .

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $log_{10}(x) + log_{10}(y) = 3$ , kita harus memahami properti logaritma. Salah satu properti penting adalah bahwa $log_{b}(M) + log_{b}(N) = log_{b}(MN)$ , yang berarti kita dapat menggabungkan kedua logaritma di sisi kiri persamaan kita menjadi satu logaritma: $log_{10}(xy) = 3$ .

Kemudian, kita mengubah bentuk ini ke bentuk eksponensial menjadi $10^3 = xy$ . Jadi, $xy = 1000$ . Perlu dicatat bahwa ini menghasilkan banyak solusi, karena ada banyak pasangan bilangan $x$ dan $y$ yang perkaliannya adalah 1000.

Soal 5

Gunakan hukum perubahan basis logaritma untuk mengubah $log_{5}(125)$ menjadi logaritma berbasis 10.

Pembahasan

Hukum perubahan basis logaritma mengatakan bahwa $log_{b}(a) = \frac{log_{c}(a)}{log_{c}(b)}$ . Menggunakan ini, kita dapat menulis $log_{5}(125) = \frac{log_{10}(125)}{log_{10}(5)}$ .

Kita tahu bahwa $log_{10}(125) = 2$ karena $10^2 = 100$ dan $10^3 = 1000$ , dan 125 berada di antara 100 dan 1000. Kemudian, $log_{10}(5) = 0.7$ karena $10^{0.7} = 5$ .

Oleh karena itu, kita bisa menghitung $log_{5}(125) = \frac{2}{0.7} = 2.86$ .

Soal 6

Jika $log_{3}(81) = x$ , berapa nilai $x$ ?

Pembahasan

Jika $log_{3}(81) = x$ , ini berarti bahwa kita mencari pangkat apa yang harus kita berikan ke 3 untuk mendapatkan 81.

Dengan kata lain, kita mencari $n$ dalam persamaan $3^n = 81$ . Kita tahu bahwa $3^4 = 81$ , jadi $x = 4$ .

Dengan kata lain, $log_{3}(81) = 4$ .

Soal 7

Gunakan hukum logaritma untuk menyederhanakan ekspresi $log_{5}(125) - log_{5}(25)$ .

Pembahasan

Hukum logaritma mengatakan bahwa selisih dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari pembagian dua angka tersebut. Jadi, $log_{5}(125) - log_{5}(25) = log_{5}\left(\frac{125}{25}\right)$ .

Karena $\frac{125}{25} = 5$ , ekspresi ini disederhanakan menjadi $log_{5}(5)$ , dan kita tahu bahwa $log_{b}(b) = 1$ untuk semua $b$ , jadi jawabannya adalah 1.

Soal 8

Jika $log_{3}(x) = 2$ , berapa nilai $x$ ?

Pembahasan

Jika $log_{3}(x) = 2$ , maka kita bisa mengubah ini menjadi bentuk eksponensial. Ini menjadi $3^2 = x$ , dan karena $3^2 = 9$ , maka $x = 9$ .

Soal 9

Selesaikan persamaan logaritma: $log_{2}(16) + log_{2}(4) = x$ .

Pembahasan

Menurut hukum logaritma, jumlah dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari perkalian dua angka tersebut. Jadi, $log_{2}(16) + log_{2}(4) = log_{2}(16 \times 4)$ .

Karena $16 \times 4 = 64$ , ekspresi ini menjadi $log_{2}(64)$ , dan kita tahu bahwa $2^6 = 64$ , jadi $x = 6$ .

Soal 10

Tentukan nilai dari $log_{4}(64) - log_{4}(16)$ .

Pembahasan

Hukum logaritma mengatakan bahwa selisih dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari pembagian dua angka tersebut. Jadi, $log_{4}(64) - log_{4}(16) = log_{4}\left(\frac{64}{16}\right)$ .

Karena $\frac{64}{16} = 4$ , ekspresi ini menjadi $log_{4}(4)$ , dan kita tahu bahwa $log_{b}(b) = 1$ untuk semua $b$ , jadi jawabannya adalah 1.

Soal 11

Selesaikan persamaan berikut: $log_{10}(x) = log_{10}(10^3)$ .

Pembahasan

Jika $log_{10}(x) = log_{10}(10^3)$ , maka $x$ pasti sama dengan $10^3$ karena jika dua logaritma sama, maka argumen mereka juga harus sama.

Jadi, $x = 1000$ .

Soal 12

Jika $log_{2}(x) + log_{2}(x+2) = 5$ , tentukan nilai $x$ .

Pembahasan

Kita tahu bahwa $log_{2}(x) + log_{2}(x+2) = log_{2}(x \times (x+2))$ karena hukum perkalian dalam logaritma. Jika $log_{2}(x \times (x+2)) = 5$ , maka $x \times (x+2) = 2^5$ .

Ini menyebabkan persamaan kuadrat $x^2 + 2x - 32 = 0$ , yang akarnya adalah $x = 4$ dan $x = -8$ .

Karena logaritma hanya didefinisikan untuk $x > 0$ , kita hanya bisa mengambil solusi positif, jadi $x = 4$ .

Soal 13

Selesaikan persamaan berikut: $log_{10}(3x) = log_{10}(12) - log_{10}(4)$ .

Pembahasan

Hukum logaritma mengatakan bahwa $log_{10}(3x) = log_{10}(12) - log_{10}(4)$ sama dengan $log_{10}(3x) = log_{10}\left(\frac{12}{4}\right)$ . Simplifikasi memberikan $log_{10}(3x) = log_{10}(3)$ .

Karena logaritma di kedua sisi sama, argumennya juga harus sama, jadi $3x = 3$ , dan oleh karena itu, $x = 1$ .

Kami berharap contoh soal logaritma ini telah menambah pemahamanmu tentang konsep logaritma. Ingatlah, latihan dan pengulangan adalah kunci dalam memahami matematika. Selamat belajar dan tetap semangat menjelajahi dunia matematika!