Permutasi dan Kombinasi: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

Materi mengenai permutasi dan kombinasi erat kaitannya dengan materi peluang suatu kejadian, titik sampel, populasi dan lainnya. Saat dihadapkan pada pengambilan keputusan, dibutuhkan kemampuan untuk mengetahui berapa banyak pilihan yang dapat diambil dari berbagai cara yang tersedia.

Untuk menentukan berapa banyak pilihan yang bisa diambil dari berbagai cara yang tersedia dibutuhkan pengetahuan dalam aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.

Definisi Permutasi dan Kombinasi

Permutasi merupakan aturan dalam penyusunan atau pencacahan suatu objek dengan memperhatikan urutan dari penyusunan objek tersebut. Sementara kombinasi merupakan aturan penyusunan atau pencacahan suatu objek tanpa memperhatikan urutan dari penyusunan objek-objek yang ada.

Meskipun secara definisi berbeda, kedua istilah ini yakni permutasi dan kombinasi digunakan dalam mencari probabilitas atau peluang dari sebuah kejadian.

Permutasi dan Kombinasi dalam Kehidupan Sehari-Hari

Konsep permutasi dan kombinasi banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Penyusunan jumlah siswa yang akan diutus sebagai perwakilan lomba menggunakan prinsip kombinasi sementara penyusunan pengurus organisasi menerapkan prinsip permutasi.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Konsep permutasi dan kombinasi berbeda dari segi susunannya. Permutasi memperhatikan urutan unsur dari sebuah susunan sementara kombinasi tidak memperhatikan urutan dari susunan unsur-unsur.

Permutasi biasanya digunakan dalam penyusunan barang secara berurutan, penyusunan angka, penyusunan warna, hingga menyusun daftar kepanitiaan. Sementara kombinasi digunakan dalam pengambilan warna dari kotak secara acak ataupun karyawan tanpa memperhatikan susunannya.

Pelajari Juga Peluang

Rumus Permutasi

Rumus permutasi dibedakan berdasarkan unsur-unsur atau objek yang tersedia apakah unsur tersebut semuanya berbeda atau mengandung unsur yang sama.

  • Permutasi dari Unsur yang Berbeda

Untuk menentukan nilai permutasi dari h unsur atau objek dari sejumlah n unsur yang tersedia, maka dengan memperhatikan urusan dari susunan bilangannya ditentukan menggunakan rumus permutasi berikut:

  • Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama

Pada beberapa situasi bisa jadi unsur atau objek yang dimiliki sama, misalnya unsur penyusun kata “APA” memiliki huruf A, P dan A. Huruf A meskipun posisinya dibalik memberikan makna yang sama sehingga terdapat 2 unsur yang sama yakni huruf A.

Untuk menghitung permutasi yang mempunyai beberapa unsur yang sama dari total unsur yang ada, digunakan rumus permutasi berikut:

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur yang berada pada tempat berbentuk lingkaran atau susunannya berbentuk melingkar. Bentuk susunan objek melingkar tentu memiliki aturan yang berbeda dari susunan objek lurus seperti pada rumus permutasi umum.

Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang tersusun secara melingkar, maka pertama-tama dipilih titik sebagai titik tetap. Sehingga sisanya dijadikan sebagai penyusunan (n – 1) unsur dari (n – 1) unsur berbeda.

Sehingga apabila terdapat 3 unsur disusun secara melingkar, banyak susunan yang mungkin dari unsur tersebut adalah

(3 – 1)!
= 2!
= 2 x 1
= 2

Rumus Psiklis = (n – 1)!

Rumus Kombinasi

Berbeda dari permutasi yang memperhatikan urutan unsur pada sebuah susunan, kombinasi tidak memperhatikan urutan dari susunan unsur tersebut. Sehingga pada kombinasi berlaku setiap h! permutasi merupakan satu kombinasi dari h unsur. Sehingga pada kombinasi berlaku rumus berikut ini:

Sama seperti permutasi, notasi kombinasi pun bermacam-macam seperti peletakan pada notasi permutasi.

Pelajari Juga Mean, Median, Modus

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

  • Soal 1

Warga Desa Gedong Pisang sedang bermusyawarah di balai desa dalam menentukan panitia kepengurusan acara hari ulang tahun desa. Panitia kepengurusan yang dibentuk terdiri dari ketua, bendahara dan sekretaris.

Setelah musyawarah selama beberapa menit, akhirnya diputuskan ada 6 orang sebagai calon pengurus kepanitiaan. Tentukan berapa banyak cara dari 6 calon tersebut yang akan memperebutkan ketiga posisi kepanitiaan tersebut!

Pembahasan

Jawab:

Untuk menghitung berapa banyak cara yang tersedia dalam memperebutkan posisi yang berbeda, maka digunakan teknik permutasi 3 unsur dari 6 pilihan yang tersedia.

  • Soal 2

Tentukan berapa banyak susunan huruf yang bisa dibentuk dengan menggunakan setiap unsur huruf dari pembentuk kata berikut ini:

a. BAMBU
b. PENDIDIKAN

Pembahasan

Jawab:

a. BAMBU

Unsur huruf pembentuk kata BAMBU ada 5, n = 5. Unsur huruf yang sama pembentuk kata BAMBU yakni h = 2 yakni huruf B. Sehingga susunan huruf yang bisa dibentuk dari kata BAMBU adalah:

b. PENDIDIKAN

Unsur huruf pembentuk kata PENDIDIKAN ada 10, n = 10. Unsur huruf yang sama pembentuk kata PENDIDIKAN yakni:

h1 = 2 yakni huruf I
h2 = 2 yakni huruf N
h3 = 2 yakni huruf D

Sehingga susunan huruf yang bisa dibentuk dari kata PENDIDIKAN adalah:

  • Soal 3

Sebanyak 8 orang mengadakan rapat di sebuah ruangan. Seluruh peserta rapat duduk di meja berbentuk bundar. Tentukan ada berapa banyak cara para peserta rapat untuk duduk menempati kursi yang disusun melingkar?

Pembahasan

Jawab:

Banyak cara para peserta rapat untuk duduk pada meja melingkar menggunakan rumus permutasi siklis

P = (n – 1)!
P = (8 – 1)!
P = 7!
P = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
P = 5040 cara

  • Soal 4

Suatu perusahaan sedang membuka pendaftaran karyawan baru di bidang pemasaran. Dari 12 orang yang mendaftar sebagai karyawan di bidang tersebut, perusahaan hanya menerima sebanyak 8 orang saja. Tentukan berapa banyak cara menerima 8 karyawan tersebut.

Pembahasan

Jawab:

Pada soal terlihat bahwa susunan karyawan yang diterima tidak diperhatikan karena perusahaan langsung mengambil 8 orang tersebut sebagai karyawan. Sehingga kasus ini merupakan kasus kombinasi 8 unsur dari 12 unsur tersedia.

Kesimpulan

Permutasi dan kombinasi berbeda dari segi susunan dari unsur yang dibentuk tersebut apakah diperhatikan atau tidak. Pada permutasi, susunan dari unsur-unsur sangat diperhatikan sementara kombinasi tidak memperhatikan susunan dari unsur-unsur yang dibentuk.

Kembali ke Materi Matematika