Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Dalam kumpulan contoh soal trigonometri ini, kita akan menjelajahi berbagai masalah trigonometri dan mempelajari cara mengaplikasikan fungsi trigonometri untuk menghitung sudut, sisi, dan memecahkan masalah yang melibatkan segitiga.

Soal 1

Diketahui sudut $\theta$ dalam segitiga siku-siku di mana $\sin\theta = 0.6$ . Tentukan nilai dari $\cos\theta$ .

Pembahasan

Untuk mencari nilai $\cos\theta$ , kita perlu menggunakan identitas Pythagoras dalam trigonometri, yaitu $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .

Kita telah diberikan bahwa $\sin\theta = 0.6$ , jadi kita bisa memasukkan ini ke dalam identitas Pythagoras dan menyelesaikan untuk $\cos\theta$ :

\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64

Karena $\cos\theta$ bisa positif atau negatif tergantung pada kuadran di mana $\theta$ berada, dan kita tidak diberi informasi tentang kuadran tersebut, maka $\cos\theta$ dapat menjadi $+\sqrt{0.64} = +0.8$ atau $-\sqrt{0.64} = -0.8$ .

Soal 2

Cari nilai $\tan\theta$ jika diketahui bahwa $\cos\theta = -0.8$ dan sudut $\theta$ berada di kuadran II.

Pembahasan

Diketahui bahwa $\cos\theta = -0.8$ dan $\theta$ berada di kuadran II. Dalam kuadran II, fungsi cosinus negatif dan fungsi sinus positif, yang berarti fungsi tangen (yaitu rasio sinus terhadap cosinus) juga positif.

Untuk menemukan $\sin\theta$ , kita bisa menggunakan identitas Pythagoras:

\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36

Maka, $\sin\theta = \sqrt{0.36} = 0.6$ . Kemudian, $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0.6}{-0.8} = -0.75$ .

Soal 3

Dalam segitiga ABC, $AC = 5$ unit, $BC = 12$ unit, dan $AB = 13$ unit.
Tentukan nilai $\sin A$ , $\cos A$ , dan $\tan A$ .

Pembahasan

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan AC sebagai sisi yang berseberangan dengan sudut A.

Oleh karena itu, $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$ , $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$ , dan $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$ .

Soal 4

Sebuah roda berputar dengan kecepatan konstan. Setelah t detik, sudut yang dibentuk antara posisi awal dan posisi saat ini adalah $\theta(t) = 0.5t$ .

Tentukan kecepatan linear dari titik pada tepi roda yang berjarak 2 meter dari pusat roda.

Pembahasan

Pada suatu titik pada tepi roda, kecepatan linear adalah produk dari jari-jari dan kecepatan sudut, $v = r\omega$ .

Kecepatan sudut diberikan oleh turunan sudut terhadap waktu, $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 0.5$ . Oleh karena itu, kecepatan linear titik pada tepi roda adalah $v = 2 \times 0.5 = 1 \, m/s$ .

Soal 5

Sebuah anak panah diluncurkan dengan kecepatan awal 20 m/s membentuk sudut 60 derajat terhadap horizontal.

Berapa ketinggian maksimum yang dapat dicapai anak panah tersebut? (Abaikan hambatan udara dan gunakan percepatan gravitasi $g = 9.8 \, m/s^2$ ).

Pembahasan

Anak panah diluncurkan dengan kecepatan awal $v_0 = 20 \, m/s$ pada sudut $\theta = 60^\circ$ terhadap horizontal.
Ketinggian maksimum dicapai ketika kecepatan vertikal menjadi nol.

Komponen kecepatan vertikal awal adalah $v_{0y} = v_0\sin \theta = 20 \sin 60^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} = 17.32 \, m/s$ .

Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum adalah $t = \frac{v_0}{g} = \frac{17.32}{9.8} = 1.77 \, s$ .

Oleh karena itu, ketinggian maksimum adalah $h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 = 17.32 \times 1.77 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.77)^2 = 15.35 \, m$ .

Soal 6

Jika $\sin A = \frac{3}{5}$ dan A berada di kuadran I, hitunglah $\cos A$ dan $\tan A$ .

Pembahasan

Dalam kuadran I, semua fungsi trigonometri adalah positif. Untuk menemukan $\cos A$ , kita bisa menggunakan identitas Pythagoras dalam trigonometri:

\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Maka $\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ .

Selanjutnya, kita dapat mencari $\tan A$ sebagai rasio $\sin A$ terhadap $\cos A$ :

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}

Soal 7

Tentukan nilai dari $\cos 45^\circ$ .

Pembahasan

Sudut 45 derajat adalah sudut khusus dalam trigonometri, dan kita tahu bahwa $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , atau jika disederhanakan, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Soal 8

Diberikan sudut $A$ dalam kuadran II dan $\cos A = -\frac{1}{2}$ , tentukan $\sin A$ dan $\tan A$ .

Pembahasan

Dalam kuadran II, cosinus negatif dan sinus positif. Untuk mencari $\sin A$ , kita dapat menggunakan identitas Pythagoras:

\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Sehingga, $\sin A = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Kemudian, $\tan A$ adalah rasio $\sin A$ terhadap $\cos A$ :

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}

Soal 9

Diberikan segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi yang berseberangan dengan sudut A, B, dan C sebagai 7, 24, dan 25, tentukan nilai dari $\sin A$ , $\cos A$ , dan $\tan A$ .

Pembahasan

Kita dapat mengasumsikan bahwa sudut A adalah sudut di mana sisi 7 berseberangan dengannya. Maka,

\sin A = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{7}{25}

\cos A = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{24}{25}

, dan

\tan A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{24}

Soal 10

Jika $\cot \theta = 1$ dan $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , hitunglah $\cos \theta$ .

Pembahasan

Jadi, jika $\cot \theta = 1$ , maka $\tan \theta = 1$ . Kami tahu dari sudut-sudut khusus bahwa $\tan 45^\circ = 1$ , atau dalam radian, $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ .

Jadi, $\theta = \frac{\pi}{4}$ atau 45 derajat. Dan kami juga tahu bahwa $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , sehingga $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Soal 11

Diberikan $\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$ dan $\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$ , dengan $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ , tentukan nilai dari $\sin \alpha \cos \beta$ .

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita harus menggunakan identitas trigonometri untuk $\sin(\alpha + \beta)$ dan $\cos(\alpha - \beta)$ . Identitas ini adalah:

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Menggantikan nilai-nilai yang diberikan:

\frac{3}{5} = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

(1)

\frac{4}{5} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

(2)

Kita mencari $\sin \alpha \cos \beta$ , jadi kita dapat mengurangi persamaan (2) dari (1) untuk mendapatkan:

\sin(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta

\Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \beta = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{1}{5}

\Rightarrow \sin \alpha \cos \beta = -\frac{1}{10}

Soal 12

Sebuah roda berputar dengan kecepatan konstan. Setelah t = 3 detik, sudut yang dibentuk oleh titik pada tepi roda dengan sumbu x adalah 30 derajat. Berapa besar sudut tersebut setelah t = 5 detik?

Pembahasan

Diketahui bahwa roda berputar dengan kecepatan konstan, maka perubahan sudut $\theta$ terhadap waktu t, atau $\frac{d\theta}{dt}$ , adalah konstan.

Dalam 3 detik, sudut yang dibentuk adalah 30 derajat, atau $\frac{\pi}{6}$ radian. Oleh karena itu, kecepatan sudut adalah $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{3} = \frac{\pi}{18}$ radian/detik.

Jika kita ingin mengetahui berapa besar sudut tersebut setelah 5 detik, kita bisa mengalikan kecepatan sudut dengan waktu:

\theta = \frac{d\theta}{dt} \times t = \frac{\pi}{18} \times 5 = \frac{5\pi}{18}

radian.

Oleh karena itu, sudut tersebut setelah 5 detik adalah $\frac{5\pi}{18}$ radian.

Melalui kumpulan contoh soal trigonometri, kita telah mengasah pemahaman kita tentang fungsi trigonometri dan kemampuan dalam menghitung sudut dan sisi dalam segitiga.

Dengan memahami trigonometri dengan baik, kita memiliki alat yang kuat untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan sudut dan sisi, serta menerapkan konsep ini dalam berbagai konteks kehidupan sehari-hari.