Logaritma sebagai bagian penting dari matematika, memainkan peran kunci dalam banyak bidang, termasuk sains, teknik, dan komputasi. Mengerti dan mampu menyelesaikan soal logaritma dengan tepat adalah keterampilan penting yang perlu dikuasai.
Berikut adalah kumpulan contoh soal logaritma yang mencakup berbagai aspek dari logaritma, termasuk menemukan nilai logaritma, menyelesaikan persamaan logaritma, dan menggunakan hukum logaritma.
Setiap soal dilengkapi dengan penjelasan rinci yang mencakup proses berpikir yang digunakan untuk mencapai solusi, sehingga kamu tidak hanya mendapatkan jawaban, tetapi juga pemahaman yang mendalam tentang bagaimana cara mencapainya.
- Soal 1
Hitunglah nilai dari log_{2}(64).
Untuk menghitung nilai dari log_{2}(64), kita harus menemukan pangkat apa yang harus kita naikkan 2 sehingga hasilnya adalah 64.
Logaritma berbasis 2 dari 64 adalah sama dengan nilai n sedemikian rupa sehingga 2^n = 64. Kita tahu bahwa 2^6 = 64, sehingga log_{2}(64) = 6.
- Soal 2
Jika log_{10}(x) = 5, tentukan nilai x.
Ketika dikatakan bahwa log_{10}(x) = 5, ini berarti kita mencari nilai x sedemikian rupa sehingga 10 dapat dinaikkan ke pangkat x untuk menghasilkan 5.
Ini adalah bentuk lain untuk menulis 10^5 = x. Jadi kita hitung 10^5, yang hasilnya adalah 100000, sehingga x = 100000.
- Soal 3
Selesaikan persamaan logaritma 2log_{10}(x) = 6.
Untuk menyelesaikan persamaan 2log_{10}(x) = 6, kita harus membagi kedua sisi persamaan dengan 2. Maka kita akan mendapatkan log_{10}(x) = 3.
Persamaan ini berarti 10 perlu dinaikkan ke pangkat berapa untuk mendapatkan x. Dalam bentuk eksponensial, persamaan ini menjadi 10^3 = x.
Karena 10^3 = 1000, maka x = 1000.
- Soal 4
Selesaikan persamaan berikut: log_{10}(x) + log_{10}(y) = 3.
Untuk menyelesaikan persamaan log_{10}(x) + log_{10}(y) = 3, kita harus memahami properti logaritma. Salah satu properti penting adalah bahwa log_{b}(M) + log_{b}(N) = log_{b}(MN), yang berarti kita dapat menggabungkan kedua logaritma di sisi kiri persamaan kita menjadi satu logaritma: log_{10}(xy) = 3.
Kemudian, kita mengubah bentuk ini ke bentuk eksponensial menjadi 10^3 = xy. Jadi, xy = 1000. Perlu dicatat bahwa ini menghasilkan banyak solusi, karena ada banyak pasangan bilangan x dan y yang perkaliannya adalah 1000.
- Soal 5
Gunakan hukum perubahan basis logaritma untuk mengubah log_{5}(125) menjadi logaritma berbasis 10.
Hukum perubahan basis logaritma mengatakan bahwa log_{b}(a) = \frac{log_{c}(a)}{log_{c}(b)}. Menggunakan ini, kita dapat menulis log_{5}(125) = \frac{log_{10}(125)}{log_{10}(5)}.
Kita tahu bahwa log_{10}(125) = 2 karena 10^2 = 100 dan 10^3 = 1000, dan 125 berada di antara 100 dan 1000. Kemudian, log_{10}(5) = 0.7 karena 10^{0.7} = 5.
Oleh karena itu, kita bisa menghitung log_{5}(125) = \frac{2}{0.7} = 2.86.
- Soal 6
Jika log_{3}(81) = x, berapa nilai x?
Jika log_{3}(81) = x, ini berarti bahwa kita mencari pangkat apa yang harus kita berikan ke 3 untuk mendapatkan 81.
Dengan kata lain, kita mencari n dalam persamaan 3^n = 81. Kita tahu bahwa 3^4 = 81, jadi x = 4.
Dengan kata lain, log_{3}(81) = 4.
- Soal 7
Gunakan hukum logaritma untuk menyederhanakan ekspresi log_{5}(125) - log_{5}(25).
Hukum logaritma mengatakan bahwa selisih dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari pembagian dua angka tersebut. Jadi, log_{5}(125) - log_{5}(25) = log_{5}\left(\frac{125}{25}\right).
Karena \frac{125}{25} = 5, ekspresi ini disederhanakan menjadi log_{5}(5), dan kita tahu bahwa log_{b}(b) = 1 untuk semua b, jadi jawabannya adalah 1.
- Soal 8
Jika log_{3}(x) = 2, berapa nilai x?
Jika log_{3}(x) = 2, maka kita bisa mengubah ini menjadi bentuk eksponensial. Ini menjadi 3^2 = x, dan karena 3^2 = 9, maka x = 9.
- Soal 9
Selesaikan persamaan logaritma: log_{2}(16) + log_{2}(4) = x.
Menurut hukum logaritma, jumlah dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari perkalian dua angka tersebut. Jadi, log_{2}(16) + log_{2}(4) = log_{2}(16 \times 4).
Karena 16 \times 4 = 64, ekspresi ini menjadi log_{2}(64), dan kita tahu bahwa 2^6 = 64, jadi x = 6.
- Soal 10
Tentukan nilai dari log_{4}(64) - log_{4}(16).
Hukum logaritma mengatakan bahwa selisih dua logaritma dengan basis yang sama adalah logaritma dari pembagian dua angka tersebut. Jadi, log_{4}(64) - log_{4}(16) = log_{4}\left(\frac{64}{16}\right).
Karena \frac{64}{16} = 4, ekspresi ini menjadi log_{4}(4), dan kita tahu bahwa log_{b}(b) = 1 untuk semua b, jadi jawabannya adalah 1.
- Soal 11
Selesaikan persamaan berikut: log_{10}(x) = log_{10}(10^3).
Jika log_{10}(x) = log_{10}(10^3), maka x pasti sama dengan 10^3 karena jika dua logaritma sama, maka argumen mereka juga harus sama.
Jadi, x = 1000.
- Soal 12
Jika log_{2}(x) + log_{2}(x+2) = 5, tentukan nilai x.
Kita tahu bahwa log_{2}(x) + log_{2}(x+2) = log_{2}(x \times (x+2)) karena hukum perkalian dalam logaritma. Jika log_{2}(x \times (x+2)) = 5, maka x \times (x+2) = 2^5.
Ini menyebabkan persamaan kuadrat x^2 + 2x - 32 = 0, yang akarnya adalah x = 4 dan x = -8.
Karena logaritma hanya didefinisikan untuk x > 0, kita hanya bisa mengambil solusi positif, jadi x = 4.
- Soal 13
Selesaikan persamaan berikut: log_{10}(3x) = log_{10}(12) - log_{10}(4).
Hukum logaritma mengatakan bahwa log_{10}(3x) = log_{10}(12) - log_{10}(4) sama dengan log_{10}(3x) = log_{10}\left(\frac{12}{4}\right). Simplifikasi memberikan log_{10}(3x) = log_{10}(3).
Karena logaritma di kedua sisi sama, argumennya juga harus sama, jadi 3x = 3, dan oleh karena itu, x = 1.
Kami berharap contoh soal logaritma ini telah menambah pemahamanmu tentang konsep logaritma. Ingatlah, latihan dan pengulangan adalah kunci dalam memahami matematika. Selamat belajar dan tetap semangat menjelajahi dunia matematika!