Barisan geometri adalah rangkaian bilangan dengan rasio tetap antara suku-suku berurutan. Dalam kumpulan contoh soal barisan geometri ini, kita akan menjelajahi berbagai barisan geometri dan belajar cara menemukan suku-suku dan jumlah barisan tersebut.

Soal 1

Suatu barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 3$ dan rasio $r = 2$ .
Tentukan suku ke-5!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .
Sehingga, suku ke-5 dapat dicari sebagai berikut:

a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)} = 3 \cdot 2^{(5-1)} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48

Sehingga suku ke-5 adalah 48.

Soal 2

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 4$ dan suku ketiga $a_3 = 16$ .
Tentukan rasio barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ . Dengan menggunakan suku ketiga dan suku pertama, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)}

Substitusi $a_3 = 16$ dan $a_1 = 4$ kita dapatkan $16 = 4 \cdot r^{2}$ atau $r^{2} = 4$ atau $r = 2$ .

Sehingga rasio barisan tersebut adalah 2.

Soal 3

Suatu barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan rasio $r = 3$ .
Tentukan jumlah 4 suku pertama!

Pembahasan

Jumlah $n$ suku pertama barisan geometri dapat dicari dengan rumus $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ . Sehingga, jumlah 4 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_4 = 5 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{80}{2} = 5 \cdot 40 = 200

Sehingga jumlah 4 suku pertama adalah 200.

Soal 4

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan suku kedua $a_2 = -4$ .
Tentukan suku ke-6!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, rasio $r$ dapat dicari dengan rumus $r = \frac{a_2}{a_1}$ . Sehingga, rasio dapat dicari sebagai berikut:

r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-4}{2} = -2

Setelah kita mendapatkan rasio, kita dapat mencari suku ke-6 dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ :

a_6 = a_1 \cdot r^{(6-1)} = 2 \cdot (-2)^{5} = 2 \cdot -32 = -64

Sehingga suku ke-6 adalah -64.

Soal 5

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 1$ dan suku ke-3 $a_3 = 4$ .
Tentukan jumlah 5 suku pertama!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, rasio $r$ dapat dicari dengan rumus $r = \sqrt{\frac{a_3}{a_1}}$ . Sehingga, rasio dapat dicari sebagai berikut:

r = \sqrt{\frac{a_3}{a_1}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2

Setelah kita mendapatkan rasio, kita dapat mencari jumlah 5 suku pertama dengan rumus $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ :

S_5 = 1 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 1 \cdot \frac{31}{1} = 31

Sehingga jumlah 5 suku pertama adalah 31.

Soal 6

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan suku ke-5 $a_5 = 20$ .
Tentukan rasio barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jadi, dengan menggunakan suku pertama dan suku kelima, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)} = 5 \cdot r^{4}

Substitusi $a_5 = 20$ , kita dapatkan $20 = 5 \cdot r^{4}$ atau $r^{4} = 4$ atau $r = \sqrt[4]{4} = 2$ .

Sehingga rasio barisan tersebut adalah 2.

Soal 7

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 3$ dan rasio $r = -2$ .
Tentukan suku ke-8!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Sehingga, suku ke-8 dapat dicari sebagai berikut:

a_8 = a_1 \cdot r^{(8-1)} = 3 \cdot (-2)^{7} = 3 \cdot -128 = -384

Sehingga suku ke-8 adalah -384.

Soal 8

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan suku kedua $a_2 = -6$ .
Tentukan jumlah 3 suku pertama!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, rasio $r$ dapat dicari dengan rumus $r = \frac{a_2}{a_1}$ . Sehingga, rasio dapat dicari sebagai berikut:

r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-6}{2} = -3

Setelah kita mendapatkan rasio, kita dapat mencari jumlah 3 suku pertama dengan rumus $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ :

S_3 = 2 \cdot \frac{(-3)^3 - 1}{-3 - 1} = 2 \cdot \frac{-26}{-4} = 2 \cdot 6.5 = 13

Sehingga jumlah 3 suku pertama adalah 13.

Soal 9

Barisan geometri dengan rasio $r = 2$ memiliki suku ke-4 yang sama dengan 48.
Tentukan suku pertama!

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jadi, dengan menggunakan suku ke-4 dan rasio, kita dapat mencari suku pertama $a_1$ sebagai berikut:

a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)} = a_1 \cdot 2^{3}

Substitusi $a_4 = 48$ , kita dapatkan $48 = a_1 \cdot 2^{3}$ atau $a_1 = \frac{48}{2^{3}} = \frac{48}{8} = 6$ .

Sehingga suku pertama barisan tersebut adalah 6.

Soal 10

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 1$ dan rasio $r = 3$ .
Tentukan jumlah 4 suku pertama!

Pembahasan

Setelah kita mendapatkan suku pertama dan rasio, kita dapat mencari jumlah 4 suku pertama dengan rumus $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ :

S_4 = 1 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 1 \cdot \frac{80}{2} = 40

Sehingga jumlah 4 suku pertama adalah 40.

Soal 11

Barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 4$ dan suku ke-3 $a_3 = 1/4$ .
Berapakah rasio barisan tersebut?

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat ditentukan menggunakan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Menggunakan suku pertama dan suku ke-3, kita dapat menemukan rasio $r$ sebagai berikut:

a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)}

Substitusi $a_3 = 1/4$ dan $a_1 = 4$ , kita dapatkan $1/4 = 4 \cdot r^2$ , atau $r^2 = 1/16$ .

Dari persamaan tersebut kita mendapatkan $r = \sqrt[2]{1/16} = 1/2$ .

Sehingga rasio barisan tersebut adalah 1/2.

Soal 12

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan rasio $r = -3$ .
Berapakah suku ke-5 barisan tersebut?

Pembahasan

Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dicari dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ . Sehingga, suku ke-5 dapat dicari sebagai berikut:

a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)} = 2 \cdot (-3)^{4} = 2 \cdot 81 = 162

Sehingga suku ke-5 adalah 162.

Soal 13

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $a_1 = 3$ dan rasio $r = 2$ .
Berapakah jumlah 3 suku pertama?

Pembahasan

Setelah kita mendapatkan suku pertama dan rasio, kita dapat mencari jumlah 3 suku pertama dengan rumus $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ :

S_3 = 3 \cdot \frac{2^3 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{7}{1} = 21

Sehingga jumlah 3 suku pertama adalah 21.

Melalui kumpulan contoh soal barisan geometri, kita telah memperoleh pemahaman tentang cara menemukan suku-suku dan jumlah barisan geometri. Dengan menguasai konsep barisan geometri, kita memiliki alat yang kuat untuk menganalisis pola bilangan dan memahami hubungan matematika yang lebih kompleks.