Barisan dan Deret Aritmatika: Rumus & Contoh Soal

Barisan deret aritmatika merupakan konsep dalam Matematika untuk melihat bagaimana pola barisan dan deret bilangan yang teratur. Konsep barisan dan deret sangat penting mengingat ada banyak sekali objek dalam kehidupan sehari-hari yang mempunyai pola susunan tertentu.

Barisan Aritmatika

Secara sederhana, barisan deret aritmatika didefinisikan sebagai barisan bilangan yang memiliki beda setiap dua suku yang berurutan bernilai sama. Barisan aritmatika mempunyai selisih dari dua suku berurutan adalah sama atau tetap.

Beda pada barisan aritmatika biasa ditulis sebagai b dengan besar b yang sama pada suatu pola barisan aritmatika.

Barisan aritmatika: U1, U2, U3, U4, U5, …, Un-1, Un

Maka berlaku beda barisan tersebut adalah:

b = U2 – U1 = U3 – U2 dan seterusnya
b = Un – Un-1

Contoh barisan deret aritmatika adalah 4, 7, 10, 13, 16, 19, … dan seterusnya. Pada barisan aritmatika tersebut memiliki beda (b) sebesar 3 yang mana nilai awal U1 = 4. Barisan aritmatika memiliki ciri khas perubahan bilangan bisa jadi ditambah atau bisa juga dikurang.

Berikut contoh barisan aritmatika yang nilainya terus berkurang seperti berikut:

99, 94, 89, 84, 79, dan seterusnya
Pada barisan aritmatika di atas nilai beda (b) adalah 94 – 99 = -5.

Rumus Barisan Aritmatika

Apabila barisan U1, U2, U3, U4 hingga Un adalah suku barisan aritmatika, maka rumus suku ke-n pada pola barisan tersebut dituliskan sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b

Keterangan:

Un = barisan bilangan suku ke-n
a = U1, merupakan suku pertama dari barisan aritmatika
n = urutan suku ke-n
b = beda pada barisan aritmatika berurutan

Contoh Soal Barisan Aritmatika

  • Soal 1

Diketahui seorang pengrajin anyaman bambu di Jawa Tengah mampu menghasilkan produk tas buatan tangan dari anyaman bambu sebanyak 6 tas tangan wanita selama 1 bulan. Permintaan produk tas dari anyaman bambu terus meningkat sehingga pengrajin tersebut harus menyediakan 9 tas di bulan kedua.

Permintaan tas dari anyaman bambu meningkat lagi di bulan ketiga sehingga jumlah tas yang harus diproduksi dalam satu bulan sebanyak 12 buah. Pada bulan keempat, permintaan tas menjadi 15 buah.

Dengan pola penambahan produksi sebanyak itu, maka tentukan di bulan berapakah pengrajin harus menyiapkan tas sebanyak 63 tas?

Pembahasan

Jawab:

Pertama-tama, dituliskan pola penambahan permintaan produksi tas anyaman bambu:

Bulan 1: U1 = a = 6
Bulan 2: U2 = 6 + 1 x 3 = 9
Bulan 3: U3 = 6 + 2 x 3 = 12
Bulan 4: U4 = 6 + 3 x 3 = 15

Tampak pola bilangan pada persamaan di atas adalah Un = a + (n – 1) b dengan a = 6, b = 3 dan Un = 63.

Un = a + (n – 1) b
63 = 6 + (n – 1) 3
63 – 6 = (n – 1) 3
57 : 3 = n – 1
19 + 1 = n
n = 20

Maka pada bulan ke 20 pemesanan tas anyaman bambu sebanyak 63 buah.

  • Soal 2

Setiap minggunya Dedi menabung uang penghasilannya di dalam celengan di rumah. Uang yang ditabung selama 5 minggu mengikuti pola barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 200.000 dengan beda adalah 75.000.

Tentukan berapa uang yang ditabung oleh Dedi di minggu ke 6?

Pembahasan

Jawab:

Untuk mengetahui berapa jumlah uang yang akan ditabung oleh Dedi pada minggu ke 6, maka digunakan rumus barisan aritmatika.

a = 200.000
b = 75.000

Un = a + (n – 1) b
U6 = 200.000 + (6 – 1) 75.000
U6 = 200.000 + (5) 75.000
U6 = 200.000 + 375.000
U6 = 575.000

Sehingga pada minggu ke 6, Dedi akan menabung sebanyak 575.000

Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan barisan dari jumlah n suku pertama barisan aritmatika. Bisa juga didefinisikan eret aritmatika sebagai penjumlahan dari barisan aritmatika.

Deret aritmatika disimbolkan dengan Sn yang mana n menunjukkan urutan suku ke-n. Berikut ini adalah bentuk dari deret aritmatika:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un

Deret aritmatika dihubungkan dengan notasi tambah (+) di antara dua bilangan yang berurutan.

Rumus Deret Aritmatika

Untuk menghitung berapa jumlah n suku pertama, maka digunakanlah rumus berikut:

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1) b)

Persamaan di atas dapat diubah menjadi lebih sederhana dengan rumus di bawah ini:

Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)

Contoh Soal Deret Aritmatika

  1. Tentukan berapakah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 101 yang dapat habis dibagi oleh 4.
Pembahasan

Jawab:

Pertama-tama, tentukan terlebih dahulu bilangan bulat apa saja yang habis dibagi oleh 4 di antara 1 sampai 101 adalah:

4, 8, 12, 16, 20, 24, … 100.

Bilangan di atas akan membentuk barisan aritmatika yang mana nilai:

U1 = a = 4
b = 4
Un = 100

Maka harus dicari terlebih dahulu berapakah nilai n dari barisan bilangan di atas:

Un = 100

a + (n – 1) b = 100

4 + (n – 1) 4 = 100

(n – 1) 4 = 100 – 4

(n – 1) 4 = 96

(n – 1) = 96 : 4

n – 1 = 24

n = 24 + 1 = 25

Maka ada 25 bilangan yang habis dibagi oleh 4 di antara 1 sampai 101. Selanjutnya untuk menghitung jumlah bilangan bulat menggunakan rumus deret aritmatika:

Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)

Sn = ½ x 25 (2 x 4 + (25 – 1) 4)

Sn = ½ x 25 (8 + 24 x 4)

Sn = ½ x 25 (8 + 24 x 4)

Sn = ½ x 25 (8 + 96)

Sn = ½ x 25 x (104)

Sn = 52 x 25

Sn = 1300

  1. Diketahui sebuah deret aritmatika tingkat satu disimbolkan dengan Sn sebagai jumlah n suku pertama. Apabila diketahui rumus Sn = (g³ – 1) n² – (g² + 2) n + g – 2. Tentukan suku ke 11 pada barisan tersebut.
Pembahasan

Jawab:

Sn = (g³ – 1) n² – (g² + 2) n + g – 2 bisa menjadi deret aritmatika tingkat satu apabila nilai g – 2 = 0 sehingga g = 2. Sehingga berlaku pada persamaan tersebut:

Sn = (g³ – 1) n² – (g² + 2) n + g – 2

Sn = (2³ – 1) n² – (2² + 2) n + 2 – 2

Sn = 7n² – 6n

Sehingga berlaku:

U11 = S11 – S10

U11 = (7 x 11² – 6 x 11) – (7 x 10² – 6 x 10)

U11 = (847 – 66) – (700 – 60)

U11 = 781 – 630

U11 = 151

Barisan deret aritmatika membahas mengenai pola susunan objek yang mempunyai aturan tertentu. Aturan yang berlaku pada barisan tersebut disebut sebagai pola barisan. Dengan adanya pola barisan, maka bisa ditentukan bentuk dari barisan pada kelompok yang berbeda.

Kembali ke Materi Matematika