Himpunan bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat yang bernilai positif. Di dalam himpunan bilangan cacah terdapat himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan prima. Dalam mempelajari matematika, dibutuhkan pengetahuan yang mumpuni dalam mengenali jenis-jenis himpunan bilangan.

Daftar Isi show

Pengertian Bilangan Cacah

Himpunan bilangan bulat yang bernilai positif atau tidak negatif dikenal dengan sebutan himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah dimulai dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … dan seterusnya sehingga disebut sebagai bilangan asli ditambah 0.

Pada notasi matematika bilangan cacah disimbolkan menggunakan huruf C. Notasi huruf C untuk bilangan cacah diberikan untuk membedakan bilangan ini dengan jenis bilangan lainnya yakni:

C: Bilangan cacah
R: Bilangan riil (R = real)
N: Bilangan asli atau natural (N). Terkadang bilangan asli ini juga ditulis menggunakan notasi A = asli
Z: Bilangan bulat (Z = zahlen yang diambil dari Bahasa Jerman dengan arti “bilangan)
Q: Bilangan rasional (Q = quociente yang dalam Bahasa Italia disebut sebagai pembagian)

Ciri-Ciri Bilangan Cacah

Bilangan cacah memiliki sifat transitif

Apabila bilangan h, i dan j merupakan bilangan cacah maka bisa disimpulkan bahwa:

Jika bilangan h < i serta i < j maka h < j
Jika bilangan h > i serta i > j maka h > j
Jika bilangan h = i serta i = j maka h = j

Bilangan cacah tertutup kepada penjumlahan dan perkalian

Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan cacah akan berlaku sifat dimana h x i dan (h + i) akan menghasilkan bilangan cacah juga (sifat tertutup).

Apabila bilangan h, i dan j merupakan bilangan cacah maka berlaku padanya sifat operasi berikut ini:

Jika bilangan h < i serta h + j < i + j
Jika bilangan h > i serta h + j > i + j
Jika bilangan h < i serta h x j < i x j, untuk j tidak sama dengan 0
Jika bilangan h > i serta h x j > i x j, untuk j tidak sama dengan 0

Operasi Pada Bilangan Cacah

Penjumlahan

Pada operasi perhitungan penjumlahan menggabungkan dua bilangan atau lebih yang dihubungkan dengan symbol + (plus atau tambah). Operasi penjumlahan bilangan cacah memiliki beberapa sifat yakni sifat komutatif (pertukaran), sifat asosiatif (pengelompokan) dan sifat tertutup.

a. Sifat tertutup yakni sifat yang muncul melalui penjumlahan sesama bilangan cacah dimana bilangan yang dihasilkan juga merupakan bilangan cacah. Contoh sifat tertutup penjumlahan bilangan cacah:

7 + 3 = 10

Bilangan 7, 3 dan 10 adalah anggota himpunan bilangan cacah yang menunjukkan sifat penjumlahan bilangan cacah sebagai penjumlahan tertutup.

b. Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan bilangan cacah adalah sifat operasi penjumlahan dimana ketika bilangan dikelompokkan berbeda akan tetap menghasilkan jawaban yang sama. Berikut contoh perhitungannya:

7 + (9 + 2) = (7 + 9) + 2
7 + 11 = 16 + 2
18 = 18

c. Sifat komutatif (pertukaran) merupakan sifat penjumlahan bilangan cacah dimana ketika bilangan cacah ditempatkan secara tertukar maka akan tetap memberikan hasil yang sama. Berikut adalah contoh penjumlahan dengan sifat komutatif:

6 + 8 = 8 + 6
14 = 14

d. Sifat identitas yakni penjumlahan bilangan cacah dengan 0 akan menghasilkan nilai yang sama. Contohnya adalah 7 + 0 = 7 sehingga angkanya tetap.

Perkalian

Pada perkalian bilangan cacah berlaku beberapa sifat yakni sifat asosiatif (pengelompokan), sifat komutatif (pertukaran), sifat distribusi dan sifat tertutup.

Sifat tertutup yakni sifat perkalian sesama bilangan cacah yang pasti menghasilkan bilangan cacah pula.
Sifat asosiatif (pengelompokan) pada operasi perkalian sama dengan operasi penjumlahan dimana pengelompokan pada bilangan perkalian akan menghasilkan nilai yang sama.
Sifat komutatif (pertukaran) pada operasi perkalian dengan bilangan cacah yang sama meskipun angka di depan dan di belakang saling ditukar akan menghasilkan nilai yang sama pula.
Pada operasi perkalian terdapat sifat distribusi dimana bilangan di dalam tanda kurung dapat dijumlahkan terlebih dahulu baru kemudian dikalikan dengan bilangan yang ada di luar kurung. Sebagai contoh perhitungan di bawah ini adalah operasi perkalian dengan sifat distribusi:
3 x ( 7 + 2) = 3 x 9 = 27
3 x (7 + 2) = (3 x 7) + (3 x 2) = 21 + 6 = 27
Sifat identitas pada operasi perkalian yakni perkalian dengan angka 1 akan menghasilkan bilangan cacah yang sama. Sebagai contoh perkalian 25 x 1 akan bernilai 25 pula.

Pengurangan

Pada operasi hitung pengurangan, bilangan cacah tidak mempunyai sifat asosiatif (pengelompokan) dan sifat komutatif (pertukaran). Hal ini dikarenakan pada operasi hitung pengurangan akan memberikan hasil yang berbeda apabila masing-masing angka ditukar posisinya. Berikut contoh operasi hitung pengurangan:

a. 10 – 7 = 3
7 – 10 = -3

b. 12 – (7 – 3) = 12 – 4 = 8
(12 – 7) – 3 = 5 – 3 = 2

Dapat dilihat bahwa pada operasi hitung pengurangan tidak berlaku sifat komutatif (pertukaran) dan juga pengelompokan.

Pada operasi hitung pengurangan, berlaku beberapa sifat sebagai berikut:

Apabila angka yang berada di depan lebih besar maka saat dilakukan operasi pengurangan sesama bilangan cacah akan tetap menghasilkan bilangan cacah. Sebagai contoh pengurangan 10 – 8 = 2. Angka 10, 8, dan 2 adalah himpunan bilangan cacah.
Apabila angka yang ada di depan (bilangan yang dikurang) lebih kecil, maka pengurangan sesama bilangan cacah akan menghasilkan bilangan negatif atau bukan bilangan cacah. Sebagai contoh pengurangan 8 – 10 = -2 akan menghasilkan -2 yang bukan merupakan bilangan cacah.

Pembagian

Operasi pembagian pada bilangan cacah tidak mempunyai sifat asosiatif (pengelompokan), sifat komutatif (pertukaran) dan distributif. Beberapa sifat pembagian bilangan cacah sebagai berikut:

Bilangan cacah yang dibagi dengan faktornya akan tetap menghasilkan bilangan cacah. Sebagai contoh 25 : 5 = 5 dimana 5 adalah salah satu faktor dari 25.
Apabila bilangan cacah dibagi dengan angka yang bukan merupakan faktornya tidak menghasilkan bilangan cacah namun bilangan rasional

Contoh Soal

Gunakan sifat asosiatif pada perhitungan berikut:

6 + (3 + 4) = (6 + 3) + 4
6 + 7 = 9 + 4
13 = 13

Dalam materi Matematika terdapat banyak himpunan bilangan yang dipelajari salah satunya adalah bilangan cacah. Bilangan cacah merupakan bilangan bulat positif termasuk bilangan 0 sehingga himpunan bilangan ini juga disebut sebagai himpunan bilangan asli beserta nol (0).