Konsep logika dalam Matematika memainkan peranan penting dalam melatih cara berpikir rasional dan juga kritis. Materi logika juga sangat berguna dalam membangun algoritma software atau perangkat lunak. Di bawah ini merupakan pengertian logika Matematika dan contoh soal logika matematika lengkap.
Pengertian Logika Matematika
Logika matematika merupakan landasan atau cara penalaran dalam matematika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan. Dengan adanya logika matematika, maka pernyataan yang disajikan dapat ditarik kebenarannya berdasarkan pembuktian serta pemikiran rasional.
Dalam materi logika Matematika, terdapat beberapa materi yang penting untuk dipelajari yakni ingkaran, disjungsi, konjungsi, implikasi serta biimplikasi.
Ingkaran
Ingkaran adalah negasi atau penyangkalan dari pernyataan yang dinegasikan. Misalnya jika pernyataan P bernilai benar, maka negasinya atau ingkarannya P bernilai salah. Ingkaran dilambangkan dengan ~.
Konjungsi (^)
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang menghubungkan beberapa pernyataan dengan kata hubung “dan”. Nilai kebenaran konjungsi (^) bernilai benar jika kedua pernyataan juga bernilai benar. Sementara jika salah satu atau kedua pernyataan salah, maka nilai kebenaran konjungsi juga salah.
Disjungsi (V)
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang menghubungkan beberapa pernyataan dengan kata hubung “atau”. Nilai kebenaran disjungsi akan selalu bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar. Sementara jika kedua pernyataan bernilai salah, maka nilai kebenaran disjungsinya salah.
Implikasi (⇒)
Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang memiliki kata hubung “Jika … maka …”. Berikut adalah tabel nilai kebenaran implikasi adalah
| p | q | p ⇒ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Biimplikasi (⇔)
Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang memiliki kata hubung “… jika dan hanya jika …”. Di bawah ini adalah tabel nilai kebenaran biimplikasi:
| p | q | p ⇔ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Daftar Contoh Soal Logika Matematika dengan Pembahasannya
- Soal 1
Tentukan ingkaran dari pernyataan di bawah ini:
a. Jika kampung sedang mengadakan kerja bakti, maka seluruh masyarakat ikut kerja bakti.
b. Jika Ayah sedang berlibur ke rumah paman, maka seluruh anak-anak paman gembira menyambutnya
Jawab:
a. Kampung sedang mengadakan kerja bakti: q
Seluruh masyarakat ikut kerja bakti dengan rajin: r
Ingkarannya: ~(q ⇒ r) = (q ^ ~r)
Sehingga ingkaran pernyataan tersebut adalah “Kampung sedang mengadakan kerja bakti dan ada masyarakat tidak ikut kerja bakti.”
b. Ayah sedang berlibur ke rumah paman: p
Seluruh anak-anak paman gembira menyambutnya: g
Ingkarannya: ~(p ⇒ g) = (p ^ ~g)
Sehingga ingkaran pernyataan tersebut adalah “Ayah sedang berlibur ke rumah paman dan ada anak paman tidak gembira.”
- Soal 2
Disediakan tiga buah premis yang harus ditarik kesimpulannya sebagai berikut:
Premis I: Jika ujian sekolah sudah selesai, maka adik bermain hingga pukul 5 sore
Premis II: Adik tidak bermain hingga pukul 5 sore atau adik menonton TV hingga larut malam
Premis III: Adik tidak menonton TV hingga larut malam
Jawab:
Terdapat 3 buah premis yang disajikan dari soal di atas. Sehingga untuk menarik kesimpulan dari ketiga premis, pertama-tama disimpulkan premis I dan II terlebih dahulu baru digabung ke premis III.
j: Ujian sekolah sudah selesai
k: Adik bermain hingga pukul 5 sore
m: Adik menonton TV hingga larut malam
1) Premis I dan II ditarik kesimpulan terlebih dahulu
Premis I: j ⇒ k
Premis II: ~k V m ekuivalen dengan k ⇒ m
Sehingga bentuk penarikan logika menjadi:
j ⇒ k
k ⇒ m
Kesimpulan j ⇒ m (Silogisme)
2) Kesimpulan premis I dan II kemudian dikaitkan dengan premis III untuk ditarik kesimpulannya:
Premis I dan II: j ⇒ m
Premis III: ~m
Kesimpulan: ~j (Modus Tollens)
Kesimpulan akhir adalah “Ujian sekolah belum selesai”
- Soal 3
Tentukan bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan q ^ r di bawah ini:
a) q: 12 x -3 = -36, r: 9 adalah bilangan cacah
b) q: Ayam adalah hewan unggas, r: Ayam merupakan hewan mamalia
Jawab:
a) q: 12 x -3 = -36 (pernyataan ini bernilai benar)
r: 9 adalah bilangan cacah (pernyataan ini bernilai benar)
q ^ r: 12 x -3 = -36 dan 9 adalah bilangan cacah (pernyataan ini bernilai benar)
b) q: Ayam adalah hewan unggas (pernyataan ini bernilai benar)
r: Ayam merupakan hewan mamalia (pernyataan ini bernilai salah)
Sehingga q ^ r: “Ayam adalah hewan unggas (Benar) dan Ayam merupakan hewan mamalia (Salah)” maka nilai kebenarannya adalah salah.
- Soal 4
Tentukan negasi dari beberapa premis di bawah ini:
a) Pulau Jawa adalah pulau dengan penduduk terpadat di Indonesia dan ibu kota Indonesia ada di Pulau Jawa
b) Nasi adalah sumber karbohidrat atau apel merupakan buah bergizi
Jawab:
Untuk menentukan ingkaran premis di atas maka digunakan Hukum De Morgan sebagai berikut:
~ (c ^ d) ≡ ~c V ~d
~ (c V d) ≡ ~c ^ ~d
a) Premis c dan d soal pertama:
c = Pulau Jawa adalah pulau dengan penduduk terpadat di Indonesia
d = ibu kota Indonesia ada di Pulau Jawa
Maka negasinya adalah: ~ (c ^ d) ≡ ~c V ~d
“Tidak benar bahwa pulau Jawa adalah pulau dengan penduduk terpadat di Indonesia atau ibu kota Indonesia tidak berada di Pulau Jawa.”
b) Premis c dan d soal kedua:
c = Nasi adalah sumber karbohidrat
d = Apel merupakan buah bergizi
Maka negasinya adalah: ~ (c V d) ≡ ~c ^ ~d
“Tidak benar nasi adalah sumber karbohidrat dan apel bukan merupakan buah bergizi”
- Soal 5
Tarik kesimpulan dari dua buah premis di bawah ini:
p: Jika hujan deras maka Doni tidak pergi les
q: Jika Doni tidak pergi les maka orangtua Doni bingung
Jawab:
Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah: “Jika hujan deras maka orangtua Doni bingung”
- Soal 6
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan implikasi q è r dengan bunyi pernyataan q dan r adalah:
q: Bilangan 10 merupakan bilangan cacah genap
r: Indonesia merupakan negara tropis
a. q ⇒ r
b. ~q ⇒ ~r
Jawab:
a. q ⇒ r: “Jika bilangan 10 merupakan bilangan cacah genap (Benar) maka Indonesia merupakan negara tropis (Benar)” maka pernyataan bernilai benar.
b. ~q ⇒ ~r: “Jika bilangan 10 bukan bilangan cacah genap (Salah) maka Indonesia bukan negara tropis (Salah)” maka pernyataan bernilai benar
Kumpulan contoh soal logika matematika di atas terdiri dari materi ingkaran, implikasi, biimplikasi, konjungsi dan disjungsi. Untuk memantapkan pemahaman mengenai materi logika matematika, maka siswa harus sering berlatih mengerjakan soal logika Matematika dalam berbagai bentuk soal.