Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

Dalam pembelajaran Matematika tentu terkenal dengan berbagai formula persamaan dan teori yang dirumuskan oleh para ahli. Untuk membuktikan kebenaran dari rumus-rumus tersebut bisa dilakukan dengan beberapa cara, salah satu cara yang paling populer adalah induksi matematika.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah salah satu dari 4 cara populer yang paling banyak digunakan untuk membuktikan kebenaran teori Matematika. Empat cara yang sering digunakan dalam pembuktian adalah pembuktian langsung, kontradiksi, kontraposisi dan induksi.

Logika Matematika membahas mengenai pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah, ingkaran atau ekuivalen suatu pernyataan dan juga metode penarikan kesimpulan. Induksi Matematika adalah metode pembuktian secara deduktif sehingga suatu pernyataan dapat dibuktikan benar atau salahnya.

Dalam konsep induksi Matematika, variabel dari sebuah perumusan dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli.

Langkah-Langkah Melakukan Induksi Matematika

Untuk melakukan induksi Matematika, maka ada tiga langkah yang harus ditempuh sebagai berikut:

  1. Langkah pertama membuktikan bahwa pernyataan atau rumus tersebut bernilai benar untuk variabel n=1
  2. Langkah kedua adalah berasumsi bahwa pernyataan atau rumus tersebut bernilai benar untuk n = h
  3. Langkah ketiga adalah membuktikan bahwa pernyataan atau rumus tersebut bernilai benar pada n = h + 1

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Pembuktian menggunakan konsep induksi Matematika bisa dilakukan untuk deret bilangan dan bilangan bulat hasil pembagian.

Induksi Matematika Pada Deret Bilangan

Buktikan rumus deret bilangan aritmatika 1 + 2 + 3 + … + n sama dengan ½ n (n + 1).

a. Pertama-tama dibuktikan terlebih dahulu apakah n = 1 bernilai benar. Pada deret tersebut, n yang dimaksud adalah jumlah suku pertama deret aritmatika.

Karena n = 1, maka jumlah suku pertamanya adalah 1. Berikut pembuktiannya:

Sn = ½ n (n + 1)
1 = ½ (1) (1 + 1)
1 = ½ x 1 x 2
1 = 1

b. Langkah kedua adalah mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk nilai n = h. Sehingga susunan deret suku pertamanya adalah 1 + 2 + 3 + … + n. Sehingga berlaku:

1 + 2 + 3 + … + h = ½ (h) (h + 1)

Pernyataan di atas dianggap benar, selanjutnya dibuktikan di langkah ketiga.

c. Membuktikan bahwa pernyataan n = h + 1 juga bernilai benar.

Pembuktian di langkah ketiga menggunakan pembuktian di langkah kedua sebelumnya.

1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 1 + 1)
1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 2)

Selanjutnya masukkan persamaan yang diperoleh di langkah kedua sebelumnya:

1 + 2 + 3 + … + h + (h + 1) = ½ (h + 1) (h + 2)
½ (h) (h + 1) + (h + 1)  = ½ (h + 1) (h + 2)
½ {(h) (h + 1) + 2 (h + 1)}  = ½ (h + 1) (h + 2)
h² + h + 2h + 2 = h² + 2h + h + 2
h² + 3h + 2 = h² + 3h + 2 (terbukti benar)

Sehingga terbukti bahwa persamaan ½ n (n + 1) bernilai benar untuk deret aritmatika di atas.

Perbedaan Penalaran Induktif dan Deduktif

Ketika berbicara mengenai metode penalaran, maka ada dua kata yang paling sering terdengar yakni induksi dan deduksi. Dalam metode induksi matematika, sebenarnya metode yang dipakai adalah metode  penalaran deduktif bukan induktif. Lantas apa perbedaan metode induktif dan juga deduktif?

  1. Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah penalaran yang bersifat tidak pasti, yakni kesimpulan yang ditarik adalah kesimpulan “mungkin benar”. Penalaran induktif akan menarik kesimpulan secara umum dari penelitian kasus-kasus yang bersifat khusus.

Penalaran induktif meskipun memberikan kesimpulan “mungkin benar” namun banyak diambil pada penelitian ilmiah karena lebih mudah. Contoh penelitian induktif adalah penelitian mengenai pengaruh rokok terhadap kesehatan manusia.

Penelitian ini hanya akan mengambil sampel segelintir orang saja. Namun meskipun diambil sampel secara random dan tidak semua perokok dilibatkan sebagai objek penelitian, kesimpulan hasil yang diperoleh bisa saja benar.

Kesimpulan yang memiliki kemungkinan benar cukup besar dikarenakan penelitian ini sudah dilakukan beberapa kali dengan berbagai konteks namun menghasilkan hasil yang sama.

  1. Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif bersifat pasti dan tidak dilakukan generalisasi seperti halnya pada penalaran induktif. Contoh penalaran deduktif adalah pada premis logika berikut:

Premis 1: Semua makhluk hidup pasti akan mati
Premis 2: Harimau adalah makhluk hidup
Kesimpulan: Harimau akan mati

Premis 1 dan 2 bernilai benar maka kesimpulan sudah pasti benar. Sementara jika salah satu premis bernilai salah maka kesimpulan juga salah meskipun secara metodenya valid.

Penalaran Deduktif dalam Matematika

Dalam induksi matematika digunakanlah penalaran deduktif. Penalaran deduktif juga merupakan pusat dari teori Matematika karena berbagai operasi perhitungan Matematika menggunakan penalaran deduktif. Berikut adalah contoh penalaran deduktif:

Premis 1: a = 3b + 2
Premis 2: b = 5
Kesimpulan:  a = 3 (5) + 2 = 17

Pada premis 1 apabila diasumsikan bernilai benar dan juga premis yang kedua juga benar, maka kesimpulan yang dihasilkan yakni nilai a = 17 juga adalah kesimpulan yang bernilai valid.

Contoh Soal Pembuktian dengan Induksi Matematika

Buktikan apakah jumlah dari g yang merupakan bilangan bulat ganjil positif pertama sama dengan g².

Pembahasan

Jawab:

Bilangan bulat ganjil positif dimulai dari angka 1 dan dilanjutkan oleh bilangan yang tidak habis dibagi oleh 2. Berikut bilangan bulat ganjil positif:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2g -1) = g²

Pertama-tama, ditunjukkan bahwa apabila g = 1 bernilai benar maka:

g² = 1² = 1

Langkah kedua adalah membuktikan apakah persamaan bernilai benar untuk g  1, maka:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2g -1) = g² bernilai benar

Langkah ketiga membuktikan apakah (g + 1) bernilai benar yakni:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2g -1) + (2 (g + 1) – 1) = (g + 1)²

Berikut pembuktiannya:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2g -1) + (2 (g + 1) – 1) = (g + 1)²
g² + 2g + 2 – 1 = g² + g + g + 1
g² + 2g + 1 = g² + 2g + 1 (Persamaan terbukti benar)

Induksi Matematika digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan untuk semua bilangan asli. Induksi Matematika sendiri merupakan perluasan dari konsep logika Matematika.

Kembali ke Materi Matematika