Dalam Matematika, himpunan merupakan sekumpulan objek serupa yang didefinisikan secara jelas sehingga tidak memungkinkan munculnya kesamaran. Dalam materi himpunan, terdapat operasi penting berupa komplemen dan selisih himpunan.
Pengertian Komplemen dan Selisih Himpunan
Sekumpulan objek dapat dikatakan sebagai himpunan hanya jika definisi objek tersebut jelas dan objektif. Apabila definisi objek tersebut subjektif atau relative maka sekumpulan objek tersebut tidak dapat dikatakan sebagai himpunan.
Operasi Komplemen Himpunan
Dalam materi himpunan sebenarnya terdapat beberapa operasi yang digunakan yakni operasi gabungan, irisan, selisih dan komplemen himpunan. Operasi komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur yang terdapat di dalam himpunan universal atau semesta, selain dari anggota himpunan tersebut.
Operasi komplemen himpunan dinotasikan dengan tanda notasi pangkat c, misalnya komplemen dari himpunan R disebut sebagai R komplemen dan dinotasikan dengan Rc . Di bawah ini adalah contoh dari komplemen himpunan:
R = {2, 4, 6, 8, 10}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sehingga komplemen himpunan R atau Rc = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12}
Operasi Selisih Himpunan
Selain operasi komplemen himpunan, ada juga operasi selisih himpunan. Operasi selisih himpunan merupakan unsur yang tidak terdapat atau tidak termuat dari salah satu himpunan.
Sebagai contoh himpunan G selisih H merupakan himpunan dari anggota atau unsur himpunan G yang tidak terdapat anggota himpunan H. Untuk menunjukkan selisih dari dua buah himpunan digunakan notasi “-“. Di bawah ini adalah contoh dari operasi selisih himpunan:
G = {2, 3, 6, 8, 9, 11}
H = {1, 3, 6, 9, 10}
Sehingga G – H = {2, 8, 11}
Materi komplemen dan selisih himpunan sebenarnya hampir berkaitan yakni mencari anggota atau unsur yang tidak terdapat di salah satu himpunan. Jika pada komplemen himpunan maka yang dilihat adalah unsur yang ada di himpunan universal namun tidak termasuk anggota himpunan komplemennya.
Sementara pada selisih himpunan maka yang dicari adalah anggota himpunan awal yang tidak memuat anggota himpunan satunya.
Contoh Soal Komplemen dan Selisih Himpunan Dengan Pembahasannya
- Soal 1
Diketahui suatu himpunan semesta mempunyai anggota A, B, C, G, H, I, K, L, M, Q, R, S. Sementara himpunan Y beranggotakan C, G, H, M, dan Q. Tentukan komplemen dari himpunan Y tersebut.
Diketahui:
S = {A, B, C, G, H, I, K, L, M, Q, R, S}
Y = {C, G, H, M, Q}
Jawab:
Untuk mencari Y komplemen (YC), maka harus dicari anggota himpunan semesta yang tidak termasuk dari unsur himpunan Y.
YC = {A, B, I, K, L, R, S}
- Soal 2
Diketahui S adalah bilangan kelipatan 2 dari bilangan 1 sampai 32. Sementara himpunan O adalah bagian dari himpunan S yang memiliki anggota berupa bilangan kelipatan 4. Tentukan komplemen dari himpunan O.
Diketahui:
Jawab:
S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}
O = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32}
Untuk mencari O komplemen (OC), maka harus dicari anggota himpunan semesta yang tidak termasuk dari unsur himpunan O.
OC = {2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30}
- Soal 3
Diketahui terdapat dua buah himpunan sebagai berikut:
A = {merah, kuning, jingga, hijau, biru, ungu, putih, hitam}
B = {kuning, hijau, biru, putih, hitam}
Tentukan himpunan selisih dari himpunan A dan himpunan B di atas.
Jawab:
Karena anggota atau unsur dari himpunan A dan himpunan B sudah diberikan dengan jelas, maka langkah selanjutnya cukup mencari selisih dari himpunan A dan B yang dinotasikan A – B yakni anggota himpunan A yang tidak terdapat pada anggota himpunan B.
A – B = {merah, jingga, ungu}
- Soal 4
Himpunan G mempunyai unsur bilangan dengan kelipatan 5 antara 0 sampai 50. Sementara himpunan H memiliki anggota bilangan kelipatan 3 antara 0 sampai 50. Tentukan bagaimanakah selisih dari himpunan G dan himpunan H.
Diketahui:
Jawab:
Karena anggota atau unsur dari himpunan G dan himpunan H belum diberikan dengan jelas, maka pertama-tama anggota kedua himpunan G dan H harus dideklarasikan terlebih dahulu.
G = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48}
H = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
Langkah selanjutnya yakni mencari selisih dari himpunan G dan H yang dinotasikan G – H yakni anggota himpunan G yang tidak memuat anggota himpunan H.
G – H = {3, 6, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 33, 36, 39, 42, 48}
- Soal 5
Diketahui dua buah himpunan X dan himpunan Y sebagai berikut:
X = {kucing, anjing, sapi, kambing, domba, kuda, zebra, gajah, unta}
Y = {anjing, kambing, zebra, unta}
Tentukan selisih dari himpunan X dan himpunan Y.
Jawab:
Anggota atau unsur dari himpunan X dan himpunan Y sudah dideklarasikan dengan jelas, sehingga langkah selanjutnya adalah mencari selisih himpunan X dan himpunan Y yang dinotasikan dengan X – Y yaitu anggota himpunan X yang tidak memuat anggota himpunan Y.
X – Y = {kucing, sapi, domba, kuda, gajah}
- Soal 6
Diketahui S merupakan himpunan semesta yang terdiri dari unsur bilangan asli dari 1 sampai 19. Sementara himpunan A adalah bagian dari himpunan S yang memiliki anggota berupa bilangan prima mulai dari 2 sampai 19. Tentukan komplemen dari himpunan A.
Diketahui:
Jawab:
Karena kedua himpunan belum dideklarasikan, maka langkah pertama adalah mendeklarasikan kedua himpunan tersebut:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Untuk mencari A komplemen (AC), maka harus dicari anggota himpunan semesta yang tidak termasuk dari unsur himpunan A.
AC = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}
Saat mempelajari materi himpunan, maka materi gabungan, irisan, komplemen dan selisih himpunan juga harus dipahami. Hal ini karena operasi himpunan tersebut merupakan bagian dari materi himpunan yang penting.