Trigonometri merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang membahas terkait hubungan antara panjang sisi segitiga dengan besar sudutnya. Salah satu pembahasan penting dalam materi trigonometri adalah identitas trigonometri yang membahas hubungan antara satu fungsi trigonometri dengan lainnya.
Definisi Identitas Trigonometri
Kata trigonometri berasal dari Bahasa Yunani yakni trigonon yang artinya adalah “tiga sudut” sementara metron berarti “mengukur”. Dalam trigonometri, ada tiga fungsi utama yang paling sering digunakan yakni sin, cos dan tangen.
Identitas trigonometri berbicara mengenai hubungan suatu fungsi trigonometri dengan fungsi lain dari trigonometri.
Penerapan Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri diterapkan dalam berbagai kehidupan terutama untuk mengukur suatu objek atau benda yang sulit diukur menggunakan prinsip trigonometri. Sebagai contoh benda-benda seperti tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi tiang dan sebagainya bisa diukur menggunakan trigonometri.
Caranya dengan membuat titik acuan kemudian diukur jarak gedung dengan titik acuan tersebut.
Grafik Fungsi Trigonometri
- Grafik Fungsi Sinus
Berdasarkan grafik fungsi sinus di atas, terlihat bahwa nilai sinus pada kuadran I (0⁰ – 90⁰) dan kuadran II (90⁰ – 180⁰) bernilai positif sementara pada kuadran III (180⁰ – 270⁰) dan kuadran IV (270⁰ – 360⁰) bernilai negatif.
Nilai sinus 0⁰, 180⁰ dan 360⁰ sesuai grafik fungsi sinus di Gambar 1. adalah 0 sementara nilai 90⁰ adalah 1 dan 270⁰ bernilai -1. Grafik fungsi y = sin x berbentuk gelombang yang bergerak teratur seiring nilai x membesar. Sifat yang diperoleh dari grafik fungsi y = sin x:
- Periode gelombang adalah 1 putaran penuh
- Simpangan gelombang yang merupakan jarak dari sumbu x ke titik puncak gelombang = 1
- Grafik y = sin x mempunyai nilai ymin = -1 dan nilai ymax = 1
- Titik minimum gelombang y = sin x adalah (270⁰, -1) dan titik maksimum gelombang yakni (90⁰, 1)
- Grafik Fungsi Cosinus
Berdasarkan grafik fungsi cosinus di Gambar 2, terlihat bahwa nilai cosinus pada kuadran I (0⁰ – 90⁰) bernilai positif sementara pada kuadran II (90⁰ – 180⁰) hingga kuadran III (180⁰ – 270⁰) bernilai negatif. Nilai cosinus kembali positif pada kuadran IV (270⁰ – 360⁰).
Nilai sinus 90⁰ dan 270⁰ sesuai grafik fungsi cosinus di Gambar 2. adalah 0. Sementara nilai 0⁰ dan 360⁰ adalah 1 dan besar sudut 180⁰ bernilai -1. Sifat yang diperoleh dari grafik y = cos x seperti pada Gambar 2 adalah:
- Grafik y = cos x dengan x adalah [0⁰, 360⁰] bergerak dari y = 1
- Fungsi y = cos x dan y = sin x untuk nilai x adalah [0⁰, 360⁰] akan bernilai sama untuk nilai x tertentu.
- Grafik Fungsi Tangen
Grafik fungsi tangen x di atas menunjukkan nilai tangen untuk x sebesar [0⁰, 360⁰]. Bisa dilihat pada grafik fungsi di atas bahwa saat x → 90⁰ dan x → 270⁰ dari kanan maka nilai y = tan x menuju tidak terhingga. Sementara jika x → 90⁰ dan x → 270⁰ dari kiri, maka nilai y = tan x menuju negatif tidak terhingga.
Sudut Istimewa
Sudut istimewa pada identitas trigonometri adalah ukuran sudut yang nilai trigonometrinya mudah ditentukan atau menjadi nilai tetapan yang biasa dituliskan di dalam tabel trigonometri.
Sudut-sudut istimewa pada identitas trigonometri dibagi berdasarkan kuadrannya yakni kuadran I hingga kuadran IV sebagai berikut:
Kuadran I = 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰
Kuadran II = 120⁰, 135⁰, 150⁰, 180⁰
Kuadran III = 210⁰, 225⁰, 240⁰, 270⁰
Kuadran IV = 300⁰, 315⁰, 330⁰, 360⁰
Pelajari Juga Aturan Sinus Cosinus
Tabel Trigonometri Sin Cos Tan
| Sudut | Sin | Cos | Tan |
| 0⁰ | 0 | 1 | 0 |
| 30⁰ | ½ | ½ √3 | ⅓ √3 |
| 45⁰ | ½ √2 | ½ √2 | 1 |
| 60⁰ | ½ √3 | ½ | √3 |
| 90⁰ | 1 | 0 | Tidak terdefinisi |
| 120⁰ | ½ √3 | -½ | -√3 |
| 135⁰ | ½ √2 | -½ √2 | -1 |
| 150⁰ | ½ | -½ √3 | -⅓ √3 |
| 180⁰ | 0 | -1 | 0 |
| 210⁰ | -½ | -½ √3 | ⅓ √3 |
| 225⁰ | -½ √2 | -½ √2 | 1 |
| 240⁰ | -½ √3 | -½ | √3 |
| 270⁰ | -1 | 0 | Tidak terdefinisi |
| 300⁰ | -½ √3 | ½ | -√3 |
| 315⁰ | -½ √2 | ½ √2 | -1 |
| 330⁰ | -½ | ½ √3 | -⅓ √3 |
| 360⁰ | 0 | 1 | 0 |
Persamaan Trigonometri
- Persamaan Trigonometri di Kuadran I
sin (90⁰ – x) = cos x
cos (90⁰ – x) = sin x
- Persamaan Trigonometri di Kuadran II
sin (90⁰ + x) = cos x
sin (180⁰ – x) = sin x
cos (90⁰ + x) = -sin x
cos (180⁰ – x) = -cos x
tan (180⁰ – x) = -tan x
- Persamaan Trigonometri di Kuadran III
sin (180⁰ + x) = -sin x
cos (180⁰ + x) = -cos x
tan (180⁰ + x) = tan x
- Persamaan Trigonometri di Kuadran IV
sin (360⁰ – x) = -sin x
cos (360⁰ – x) = cos x
tan (360⁰ – x) = -tan x
Pelajari Juga Perbandingan Trigonometri
Identitas Trigonometri Terhadap Sinus
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y
sin 2c = 2 sin c cos c
sin² x = ½ – ½ cos 2x
sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
Identitas Trigonometri Terhadap Cosinus
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
cos 2c = cos² c – sin² c
cos 2x = 2 cos² x – 1
cos 2x = 1 – 2 sin² x
cos² x = ½ + ½ cos 2x
cos 3c = 4 cos³ c – 3 cos c
2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)
Identitas Trigonometri Terhadap Tangen
Contoh Soal Trigonometri
Tentukan berapakah besar x yang memenuhi persamaan √8 sin x + 2 = 0
Jawab:
Untuk mendapatkan besar x yang memenuhi persamaan tersebut harus menyederhanakan pecahan terlebih dulu:
Untuk mengetahui besar nilai x yang memenuhi sin x = -½ √2 dengan melihat tabel sin cos tan yakni x = 225⁰ dan x = 315⁰
Kesimpulan
Identitas trigonometri diterapkan dalam berbagai kehidupan terutama saat akan dilakukan pengukuran suatu benda seperti tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi tiang dan sebagainya. Untuk mengukur tinggi objek benda tersebut tidak perlu menggunakan alat pengukur manual namun menggunakan prinsip trigonometri.