Barisan aritmatika adalah rangkaian bilangan dengan pertambahan konstan antara suku-suku berurutan. Dalam kumpulan contoh soal barisan aritmatika ini, kita akan menjelajahi berbagai barisan aritmatika dan belajar cara menemukan suku-suku dan jumlah barisan tersebut.

Soal 1

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan beda $d = 3$ .
Tentukan suku ke-7!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Untuk menentukan suku ke-7, kita substitusikan $a_1 = 2$ , $d = 3$ , dan $n = 7$ :

a_7 = 2 + (7 - 1) \cdot 3 = 2 + 6 \cdot 3 = 2 + 18 = 20

Sehingga suku ke-7 dari barisan tersebut adalah 20.

Soal 2

Barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan suku ke-3 $a_3 = 11$ .
Berapakah beda barisan tersebut?

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-3, kita dapat mencari beda $d$ sebagai berikut:

a_3 = a_1 + (3-1) \cdot d

Substitusi $a_3 = 11$ dan $a_1 = 5$ , kita dapatkan $11 = 5 + 2d$ , atau $2d = 6$ .

Sehingga, $d = \frac{6}{2} = 3$ .

Sehingga beda barisan tersebut adalah 3.

Soal 3

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku pertama $a_1 = 4$ dan beda $d = -2$ .
Tentukan suku ke-5 barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ . Sehingga, suku ke-5 dapat ditentukan dengan:

a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot d = 4 + 4 \cdot -2 = 4 - 8 = -4

Sehingga suku ke-5 barisan tersebut adalah -4.

Soal 4

Diketahui suku pertama $a_1 = 3$ dan suku ke-4 $a_4 = 12$ suatu barisan aritmatika.
Tentukan beda dari barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-4, kita dapat mencari beda $d$ sebagai berikut:

a_4 = a_1 + (4-1) \cdot d

Substitusi $a_4 = 12$ dan $a_1 = 3$ , kita dapatkan $12 = 3 + 3d$ , atau

3d = 9

Sehingga, $d = \frac{9}{3} = 3$ .
Sehingga beda barisan tersebut adalah 3.

Soal 5

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan beda $d = 2$ .
Berapakah jumlah 4 suku pertama?

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika dapat ditentukan dengan rumus $S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]$ . Jadi, jumlah 4 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_4 = \frac{4}{2} \cdot [2 \cdot 5 + (4-1) \cdot 2] = 2 \cdot [10 + 6] = 2 \cdot 16 = 32

Sehingga, jumlah 4 suku pertama adalah 32.

Soal 6

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $a_1 = 6$ dan beda $d = 4$ .
Tentukan suku ke-10!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Untuk menentukan suku ke-10, kita substitusikan $a_1 = 6$ , $d = 4$ , dan $n = 10$ :

a_{10} = 6 + (10 - 1) \cdot 4 = 6 + 36 = 42

Sehingga suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 42.

Soal 7

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 3$ dan suku ke-5 $a_5 = 19$ .
Apakah beda dari barisan tersebut?

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-5, kita dapat mencari beda $d$ sebagai berikut:

a_5 = a_1 + (5-1) \cdot d

Substitusi $a_5 = 19$ dan $a_1 = 3$ , kita dapatkan $19 = 3 + 4d$ , atau $4d = 16$ .

Sehingga, $d = \frac{16}{4} = 4$ .

Sehingga beda barisan tersebut adalah 4.

Soal 8

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 1$ dan beda $d = -1$ .
Tentukan suku ke-8 dari barisan ini.

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ . Sehingga, suku ke-8 dapat ditentukan dengan:

a_8 = a_1 + (8 - 1) \cdot d = 1 + 7 \cdot -1 = 1 - 7 = -6

Sehingga suku ke-8 barisan tersebut adalah -6.

Soal 9

Diketahui suku pertama $a_1 = 7$ dan suku ke-7 $a_7 = 25$ suatu barisan aritmatika.
Tentukan beda dari barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ . Dengan suku pertama dan suku ke-7, kita dapat mencari beda $d$ sebagai berikut:

a_7 = a_1 + (7-1) \cdot d

Substitusi $a_7 = 25$ dan $a_1 = 7$ , kita dapatkan $25 = 7 + 6d$ , atau $6d = 18$ . Sehingga,

d = \frac{18}{6} = 3

Sehingga beda barisan tersebut adalah 3.

Soal 10

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan beda $d = 3$ .
Berapakah jumlah 6 suku pertama?

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika dapat ditentukan dengan rumus $S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]$ .

Jadi, jumlah 6 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_6 = \frac{6}{2} \cdot [2 \cdot 5 + (6-1) \cdot 3] = 3 \cdot [10 + 15] = 3 \cdot 25 = 75

Sehingga, jumlah 6 suku pertama adalah 75.

Soal 11

Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-5 $a_5 = 20$ dan suku ke-8 $a_8 = 29$ .
Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut.

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Dengan suku ke-5 dan suku ke-8, kita dapat mencari suku pertama $a_1$ dan beda $d$ sebagai berikut:

a_5 = a_1 + 4d

a_8 = a_1 + 7d

Substitusi $a_5 = 20$ dan $a_8 = 29$ dalam dua persamaan tersebut, kita dapatkan dua persamaan:

20 = a_1 + 4d

29 = a_1 + 7d

Kurangi persamaan kedua dengan persamaan pertama, kita dapatkan $9 = 3d$ , atau $d = \frac{9}{3} = 3$ .

Substitusi $d = 3$ dalam persamaan pertama, kita dapatkan $20 = a_1 + 4 \cdot 3$ , atau $a_1 = 20 - 12 = 8$ .

Sehingga suku pertama barisan tersebut adalah 8 dan beda barisan tersebut adalah 3.

Soal 12

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 10$ dan beda $d = -2$ .
Tentukan suku ke-15 dari barisan ini.

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Sehingga, suku ke-15 dapat ditentukan dengan:

a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d = 10 + 14 \cdot -2 = 10 - 28 = -18

Sehingga suku ke-15 barisan tersebut adalah -18.

Soal 13

Diketahui suku pertama $a_1 = 2$ dan suku ke-10 $a_{10} = 38$ suatu barisan aritmatika.
Tentukan beda dari barisan tersebut!

Pembahasan

Dalam barisan aritmatika, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-10, kita dapat mencari beda $d$ sebagai berikut:

a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot d

Substitusi $a_{10} = 38$ dan $a_1 = 2$ , kita dapatkan $38 = 2 + 9d$ , atau $9d = 36$ .

Sehingga, $d = \frac{36}{9} = 4$ .

Sehingga beda barisan tersebut adalah 4.

Soal 14

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 7$ dan beda $d = 5$ .
Berapakah jumlah 9 suku pertama?

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika dapat ditentukan dengan rumus $S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]$ .

Jadi, jumlah 9 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_9 = \frac{9}{2} \cdot [2 \cdot 7 + (9-1) \cdot 5] = \frac{9}{2} \cdot [14 + 40] = \frac{9}{2} \cdot 54 = 243

Sehingga, jumlah 9 suku pertama adalah 243.

Melalui kumpulan contoh soal barisan aritmatika, kita telah mempelajari cara menemukan suku-suku dan jumlah barisan aritmatika. Dengan menguasai konsep barisan aritmatika, kita memiliki alat yang kuat untuk mengidentifikasi pola bilangan, memprediksi suku-suku berikutnya, dan menerapkan konsep ini dalam situasi kehidupan sehari-hari.