Dalam kumpulan contoh soal deret geometri ini, kita akan melihat berbagai deret dengan pertambahan rasio konstan antara suku-suku berurutan. Tujuan kita adalah untuk memahami pola dan sifat-sifat deret ini serta belajar bagaimana menemukan suku-suku dan jumlah keseluruhannya.

Soal 1

Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan rasio $r = 3$ .
Tentukan suku ke-4 dari deret ini.

Pembahasan

Dalam deret geometri, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jadi, suku ke-4 dari deret ini adalah:

a_4 = 2 \cdot 3^{(4-1)} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54

Sehingga, suku ke-4 deret tersebut adalah 54.

Soal 2

Diketahui deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 5$ dan suku ke-3 $a_3 = 20$ .

Tentukan rasio dari deret tersebut.

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jika kita menyelesaikan rumus tersebut untuk $r$ , kita mendapatkan $r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-3, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_3}{a_1} \right)^{1/(3-1)} = \left( \frac{20}{5} \right)^{1/2} = \sqrt{4} = 2

Sehingga, rasio deret tersebut adalah 2.

Soal 3

Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 3$ dan rasio $r = 2$ .

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri dapat ditentukan dengan rumus $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .

Jadi, jumlah 6 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_6 = 3 \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189

Sehingga, jumlah 6 suku pertama adalah 189.

Soal 4

Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a_1 = 4$ dan rasio $r = 1/2$ .
Tentukan jumlah deret tersebut.

Pembahasan

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan dengan rumus $S = \frac{a_1}{1 - r}$ jika $|r| < 1$ .

Jadi, jumlah deret tersebut adalah:

S = \frac{4}{1 - 1/2} = \frac{4}{1/2} = 8

Sehingga, jumlah deret tersebut adalah 8.

Soal 5

Tentukan rasio dari deret geometri jika diketahui suku pertama $a_1 = 7$ dan suku ke-2 $a_2 = -21$ .

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $r = a_n / a_{n-1}$ .

Jadi, rasio deret ini adalah:

r = a_2 / a_1 = -21 / 7 = -3

Sehingga, rasio deret tersebut adalah -3.

Soal 6

Tentukan suku ke-5 dari deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 1$ dan rasio $r = -2$ .

Pembahasan

Dalam deret geometri, suku ke-n dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ . Jadi, suku ke-5 dari deret ini adalah:

a_5 = 1 \cdot (-2)^{(5-1)} = 1 \cdot (-2)^4 = 16

Sehingga, suku ke-5 deret tersebut adalah 16.

Soal 7

Diketahui deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 6$ dan suku ke-4 $a_4 = 54$ .
Tentukan rasio dari deret tersebut.

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jika kita menyelesaikan rumus tersebut untuk $r$ , kita mendapatkan $r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-4, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_4}{a_1} \right)^{1/(4-1)} = \left( \frac{54}{6} \right)^{1/3} = 3^{1/3} = 3

Sehingga, rasio deret tersebut adalah 3.

Soal 8

Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 2$ dan rasio $r = 4$ .

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri dapat ditentukan dengan rumus $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .

Jadi, jumlah 7 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_7 = 2 \frac{4^7 - 1}{4 - 1} = 2 \cdot 21844 = 43688

Sehingga, jumlah 7 suku pertama adalah 43688.

Soal 9

Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a_1 = 5$ dan rasio $r = -1/3$ .
Tentukan jumlah deret tersebut.

Pembahasan

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan dengan rumus $S = \frac{a_1}{1 - r}$ jika $|r| < 1$ .

Jadi, jumlah deret tersebut adalah:

S = \frac{5}{1 - (-1/3)} = \frac{5}{1 + 1/3} = \frac{5}{4/3} = 15/4 = 3.75

Sehingga, jumlah deret tersebut adalah 3.75.

Soal 10

Tentukan rasio dari deret geometri jika diketahui suku pertama $a_1 = 3$ dan suku ke-3 $a_3 = 27$ .

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jika kita menyelesaikan rumus tersebut untuk $r$ , kita mendapatkan $r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-3, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_3}{a_1} \right)^{1/(3-1)} = \left( \frac{27}{3} \right)^{1/2} = 3^{1/2} = 3

Sehingga, rasio deret tersebut adalah 3.

Soal 11

Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 4$ dan suku ke-3 $a_3 = 16$ .
Tentukan suku ke-5 deret tersebut.

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio $r$ dapat ditentukan dengan rumus $r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-3, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_3}{a_1} \right)^{1/(3-1)} = \left( \frac{16}{4} \right)^{1/2} = 2

Sekarang, kita dapat menemukan suku ke-5 dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ :

a_5 = 4 \cdot 2^{(5-1)} = 4 \cdot 2^4 = 64

Sehingga, suku ke-5 deret tersebut adalah 64.

Soal 12

Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 5$ dan rasio $r = -2$ .

Pembahasan

Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri dapat ditentukan dengan rumus $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .

Jadi, jumlah 6 suku pertama dapat dicari sebagai berikut:

S_6 = 5 \frac{(-2)^6 - 1}{-2 - 1} = 5 \cdot \frac{63}{-3} = -105

Sehingga, jumlah 6 suku pertama adalah -105.

Soal 13

Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s. Setiap detik, kecepatannya berkurang menjadi 90% dari kecepatan detik sebelumnya.
Tentukan kecepatan bola setelah 5 detik.

Pembahasan

Kecepatan bola membentuk suatu deret geometri dengan suku pertama $a_1 = 20$ dan rasio $r = 0.9$ .

Kita bisa menemukan kecepatan bola setelah 5 detik dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ :

a_5 = 20 \cdot (0.9)^{(5-1)} = 20 \cdot (0.9)^4 = 13.12 \text{ m/s}

Sehingga, kecepatan bola setelah 5 detik adalah 13.12 m/s.

Soal 14

Tentukan rasio dari deret geometri jika diketahui suku pertama $a_1 = 1$ dan suku ke-5 $a_5 = 16$ .

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jika kita menyelesaikan rumus tersebut untuk $r$ , kita mendapatkan

r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}

Dengan suku pertama dan suku ke-5, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_5}{a_1} \right)^{1/(5-1)} = \left( \frac{16}{1} \right)^{1/4} = 2

Sehingga, rasio deret tersebut adalah 2.

Soal 15

Sebuah deret geometri memiliki suku pertama $a_1 = 3$ dan suku ke-4 $a_4 = -27$ .
Tentukan rasio deret tersebut.

Pembahasan

Dalam deret geometri, rasio dapat ditentukan dengan rumus $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ .

Jika kita menyelesaikan rumus tersebut untuk $r$ , kita mendapatkan $r = (a_n / a_1)^{1/(n-1)}$ .

Dengan suku pertama dan suku ke-4, kita dapat mencari rasio $r$ sebagai berikut:

r = \left( \frac{a_4}{a_1} \right)^{1/(4-1)} = \left( \frac{-27}{3} \right)^{1/3} = -3

Sehingga, rasio deret tersebut adalah -3.

Melalui kumpulan contoh soal deret geometri, kita telah mengasah kemampuan kita dalam menganalisis pola bilangan dan menghitung suku-suku serta jumlah deret geometri. Dengan menguasai konsep deret geometri, kita memiliki alat yang kuat untuk memprediksi dan memahami perkembangan nilai-nilai dalam rangkaian bilangan yang memiliki pertambahan rasio konstan.