Dalam mempelajari bangun datar segitiga, terutama segitiga siku-siku yang memiliki sudut 90⁰, maka untuk memudahkan perhitungan panjang sisi maupun sudut segitiga maka digunakan prinsip trigonometri. Perbandingan trigonometri untuk menghitung sudut dan sisi menggunakan sinus, cosinus dan tangen.
Konsep sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan) dan turunannya yakni cosecant (csc), cotangent (cot) dan secan (sec) dipakai untuk menentukan besar sudut pada bangun segitiga menggunakan perbandingan sisi segitiga. Untuk memudahkan perbandingan trigonometri maka sudut istimewa sebaiknya dihapal.
Sudut Istimewa
Dalam materi rasio trigonometri, dikenal suatu istilah yang disebut sebagai sudut istimewa. Sudut istimewa merupakan sudut-sudut khusus yang diperoleh dari keempat kuadran lingkaran dengan rentang 0⁰ sampai 360⁰.
Sudut ini dinamai sebagai sudut istimewa karena besar nilai perbandingan trigonometrinya bisa dihitung dengan mudah tanpa mengandalkan perhitungan dan kalkulator. Rasio atau perbandingan panjang sisi-sisi di sudut tertentu langsung diketahui dengan sudut istimewa trigonometri.
Sudut istimewa yang umum dikenal dalam trigonometri adalah 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰ yang terletak di kuadran I.
Namun, untuk memudahkan dalam mempelajari besar sudut istimewa dalam trigonometri, tabel di bawah ini menyajikan tabel perbandingan trigonometri pada sudut istimewa dari 0⁰ sampai 360⁰ (kuadran I sampai IV).
| Sudut | Sin | Cos | Tan |
| 0⁰ | 0 | 1 | 0 |
| 30⁰ | ½ | ½ √3 | ⅓ √3 |
| 45⁰ | ½ √2 | ½ √2 | 1 |
| 60⁰ | ½ √3 | ½ | √3 |
| 90⁰ | 1 | 0 | Tidak terdefinisi |
| 120⁰ | ½ √3 | -½ | -√3 |
| 135⁰ | ½ √2 | -½ √2 | -1 |
| 150⁰ | ½ | -½ √3 | -⅓ √3 |
| 180⁰ | 0 | -1 | 0 |
| 210⁰ | -½ | -½ √3 | ⅓ √3 |
| 225⁰ | -½ √2 | -½ √2 | 1 |
| 240⁰ | -½ √3 | -½ | √3 |
| 270⁰ | -1 | 0 | Tidak terdefinisi |
| 300⁰ | -½ √3 | ½ | -√3 |
| 315⁰ | -½ √2 | ½ √2 | -1 |
| 330⁰ | -½ | ½ √3 | -⅓ √3 |
| 360⁰ | 0 | 1 | 0 |
Dalam Kuadran I, II, III, IV
Lingkaran memiliki total sudut sebesar 360⁰. Sudut pada lingkaran tersebut kemudian dibagi ke dalam empat buah kuadran, yakni kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV. Setiap kuadran tersebut mempunyai rentang besar sudut sebesar 90⁰.
- Kuadran I
Kuadran I terletak di sisi kanan atas lingkaran yang memiliki rentang ukuran sudut mulai dari 0⁰ sampai 90⁰. Pada kuadran I ini terdapat sudut-sudut istimewa yakni 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. Nilai sinus (sin), cosinus (cos) dan tangen pada kuadran I bertanda positif.
- Kuadran II
Kuadran II terletak di sebelah kiri atas lingkaran dengan rentang ukuran sudut mulai dari 90⁰ sampai 180⁰. Pada kuadran II terdapat sudut istimewa 120⁰, 135⁰, 150⁰, 180⁰. Pada kuadran II, nilai sinus positif sementara cosinus dan tangen bernilai negatif.
- Kuadran III
Kuadran III terletak di sebelah kiri bawah lingkaran dengan rentang ukuran sudut mulai dari 180⁰ sampai 270⁰. Pada kuadran III terdapat sudut-sudut istimewa yaitu 210⁰, 225⁰, 240⁰, 270⁰. Pada kuadran III mempunyai nilai cosinus dan sinus negatif sementara tangen bernilai positif.
- Kuadran IV
Kuadran IVI terletak di sebelah kanan bawah lingkaran dengan rentang ukuran sudut mulai dari 270⁰ sampai 360⁰. Pada kuadran IV terdapat sudut-sudut istimewa yaitu 300⁰, 315⁰, 330⁰, 360⁰. Pada kuadran IV mempunyai nilai tangen dan sinus negatif sementara cosinus bernilai positif.
Tabel Trigonometri
Di bawah ini merupakan tabel trigonometri yang berisi rumus trigonometri sin, cos, tangen, secan, cosecant dan cotangent untuk berbagai sudut di keempat kuadran.
| Kuadran I | Kuadran II | Kuadran III | Kuadran IV | |
| Cos a | Sin (90⁰ – a) | -Cos (180⁰ – a) | -Cos (180 + a) | Cos (360⁰ – a) |
| Sin a | Cos (90⁰ – a) | Sin (180⁰ – a) | -Sin (180 + a) | -Sin (360⁰ – a) |
| Tan a | Cotan (90⁰ – a) | -Tan (180⁰ – a) | Tan (180⁰ + a) | -Tan (360⁰ – a) |
| Sec a | Cosec (90⁰ – a) | -Sec (180⁰ – a) | -Sec (180⁰ + a) | Sec (360⁰ – a) |
| Cosec a | Sec (90 – a) | Cosec (180 – a) | -Cosec (180⁰ + a) | -Cosec (360⁰ – a) |
| Cotan a | Cotan (90⁰ – a) | -Cotan (180⁰ – a) | Cotan (180⁰ + a) | -Cotan (360⁰ – a) |
Perbandingan Trigonometri Sudut Khusus
Perbandingan trigonometri sudut khusus adalah perbandingan trigonometri sinus (sin), cos, tangen, secan, cosecant dan cotangent pada sudut 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰. Berikut adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut khusus.
| Sudut | Sin | Cos | Tan | Secan | Cosecan | Cotangen |
| 0⁰ | 0 | 1 | 0 | 1 | Tidak terdefinisi | Tidak terdefinisi |
| 30⁰ | ½ | ½ √3 | ⅓ √3 |  √3 | 2 | √3 |
| 45⁰ | ½ √2 | ½ √2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60⁰ | ½ √3 | ½ | √3 | 2 | √3 | ⅓ √3 |
| 90⁰ | 1 | 0 | Tidak terdefinisi | Tidak terdefinisi | 1 | 0 |
Apabila digambarkan ke dalam bangun segitiga siku-siku, maka sudut khusus akan membentuk perbandingan sisi segitiga seperti gambar di bawah ini.
Contoh Soal & Pembahasan
- Soal 1
Tentukan berapa besar sudut x yang memenuhi persamaan trigonometri dari √12 tan x – 2 = 0
Jawab:
Untuk mendapatkan besar sudut x yang memenuhi persamaan di atas maka persamaan trigonometri harus disederhanakan terlebih dulu:
Besar nilai x yang memenuhi persamaan
dengan mengecek tabel sin cos tan yakni x = 30⁰ dan x = 210⁰
- Soal 2
Tentukan berapakah nilai dari perbandingan trigonometri sudut A segitiga siku-siku ABC, yang mana sisi a memiliki panjang = 8 cm dan sisi b = 6 cm. Sudut siku-siku berada di titik C.
Jawab:
Pertama-tama harus dihitung terlebih dahulu panjang sisi c menggunakan persamaan phytagoras sudut siku-siku:
- Soal 3
Tentukan besar sudut x dari persamaan trigonometri √8 cos x – 2 = 0
Jawab:
Rumus perbandingan trigonometri sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari terutama sebagai instrument pengukuran objek yang memiliki ketinggian tertentu sehinga sulit jika diukur dengan teknik tradisional.