Turunan fungsi aljabar merupakan konsep penting dalam kalkulus yang membahas perubahan laju perubahan suatu fungsi. Mari kita eksplorasi contoh-contoh soal fungsi aljabar di bawah untuk melatih kemampuan kita dalam menghitung turunan, mengidentifikasi titik stasioner, dan menganalisis sifat-sifat turunan fungsi aljabar.

Soal 1

Hitunglah turunan dari fungsi $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ .

Pembahasan

Menggunakan rumus turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

f'(x) = 2 \cdot 3x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 6x + 2

Soal 2

Hitunglah turunan dari fungsi $g(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 3x^2 - 2x + 1$ .

Pembahasan

Menggunakan rumus turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

g'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{4-1} - 3 \cdot x^{3-1} + 2 \cdot 3x^{2-1} - 2 + 0 = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2

Soal 3

Hitunglah turunan dari fungsi $h(x) = x^{1/2}$ (akar kuadrat dari x).

Pembahasan

h'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Soal 4

Hitunglah turunan dari fungsi $p(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x$ .

Pembahasan

p'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 1 = x^2 - 4x + 1

Soal 5

Hitunglah turunan dari fungsi $q(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1$ .

Pembahasan

q'(x) = 4 \cdot 5x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} - 1 = 20x^3 - 9x^2 + 4x - 1

Soal 6

Sebuah roket diluncurkan ke atas dan ketinggiannya (dalam meter) setelah $t$ detik diberikan oleh fungsi $h(t) = 50t - 5t^2$ . Hitunglah kecepatan roket setelah 3 detik.

Pembahasan

Kecepatan roket setelah 3 detik adalah turunan pertama dari fungsi ketinggian terhadap waktu. Jadi kita perlu mencari $h'(t)$ :

h'(t) = 50 - 2 \cdot 5t = 50 - 10t

Kemudian substitusi $t = 3$ ke dalam $h'(t)$ :

h'(3) = 50 - 10 \cdot 3 = 50 - 30 = 20 \text{ m/s}

Soal 7

Sebuah partikel bergerak di sepanjang sumbu-x dan posisinya pada waktu $t$ diberikan oleh $x(t) = t^3 - 3t^2 + 2t$ . Berapakah kecepatan partikel pada waktu $t = 2$ detik?

Pembahasan

Kecepatan partikel pada waktu $t = 2$ detik adalah turunan pertama dari fungsi posisi terhadap waktu. Jadi kita perlu mencari $x'(t)$ :

x'(t) = 3t^2 - 2 \cdot 3t + 2 = 3t^2 - 6t + 2

Kemudian substitusi $t = 2$ ke dalam $x'(t)$ :

x'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 \text{ m/s}

Soal 8

Hitunglah turunan dari fungsi $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 1$ .

Pembahasan

Menggunakan rumus turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{4-1} - 3 \cdot \frac{1}{3}x^{3-1} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{2-1} - 1 = x^3 - x^2 + x - 1

Soal 9

Hitunglah turunan dari fungsi $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ .

Pembahasan

Menggunakan rumus turunan fungsi pangkat dan fungsi pecahan, kita dapatkan:

g'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}

Soal 10

Hitunglah turunan dari fungsi $h(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}$ .

Pembahasan

Menggunakan rumus turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

h'(x) = 3x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{2-1} + \frac{1}{3} = 3x^2 - x + \frac{1}{3}

Soal 11

Hitunglah turunan dari fungsi $f(x) = 3x^5 - 4x^4 + 2x^3 - x^2 + x$ .

Pembahasan

Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

f'(x) = 5 \cdot 3x^{5-1} - 4 \cdot 4x^{4-1} + 3 \cdot 2x^{3-1} - 2x^{2-1} + 1 = 15x^4 - 16x^3 + 6x^2 - 2x + 1

Soal 12

Hitunglah turunan dari fungsi $g(x) = 2x^{3/2} - 3x^{1/2} + x^{-1}$ .

Pembahasan

Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat dan fungsi pecahan, kita dapatkan:

g'(x) = 3/2 \cdot 2x^{3/2-1} - 1/2 \cdot 3x^{1/2-1} - x^{-1-1} = 3x^{1/2} - \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}

Soal 13

Hitunglah turunan dari fungsi $h(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^{-1} + \frac{1}{x^2}$ .

Pembahasan

Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat dan fungsi pecahan, kita dapatkan:

h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{3-1} + 2x^{-1-1} - 2x^{-2-1} = x^2 + 2x^{-2} - 2x^{-3}

Soal 14

Hitunglah turunan dari fungsi $f(x) = 4x^4 - 3x^2 + 2x - 1$ .

Pembahasan

Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

f'(x) = 4 \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{2-1} + 2 = 16x^3 - 6x + 2

Soal 15

Hitunglah turunan dari fungsi $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4$ .

Pembahasan

Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat, kita dapatkan:

g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{2-1} - 3 \cdot \frac{1}{3}x^{3-1} + 4 \cdot \frac{1}{4}x^{4-1} = x - x^2 + x^3

Melalui latihan dan pemecahan contoh soal turunan fungsi aljabar, kita dapat meningkatkan pemahaman dan keterampilan kita dalam menganalisis perubahan laju perubahan fungsi. Dengan melihat berbagai contoh soal yang telah disusun, kita dapat mengasah kemampuan dalam menghitung turunan, menemukan titik kritis, dan memahami sifat-sifat turunan fungsi aljabar secara umum.

Teruslah berlatih dan menjelajahi dunia turunan fungsi aljabar untuk memperkuat pemahaman matematika kita.