Limit adalah salah satu konsep penting dalam matematika, terutama dalam kalkulus. Mempelajari limit membantu kita memahami perilaku suatu fungsi saat nilai input mendekati suatu titik tertentu.

Untuk memperdalam pemahaman tentang limit, penting untuk melatih kemampuan dalam mengerjakan berbagai jenis soal limit. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi kumpulan contoh soal limit yang mencakup berbagai tingkat kesulitan.

Soal 1

Hitung limit dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ saat $x$ mendekati 1.

Pembahasan

Soal ini mengandung bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x = 1$ . Kita bisa menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan penyebut dan membatalkan faktor $x - 1$ di penyebut dan pembilang, memberikan:

\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{{x \to 1}} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{{x \to 1}} (x + 1) = 2

Soal 2

Tentukan limit dari fungsi $g(x) = \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Soal ini juga mengandung bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x = 0$ . Kita bisa mengalikan penyebut dan pembilang dengan konjugat dari pembilang untuk menyederhanakan ekspresi:

\lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x}{x (\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{1}{4}

Soal 3

Cari limit dari fungsi $h(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Soal ini mengandung bentuk tak tentu $0 \cdot \infty$ saat $x = 0$ . Kita bisa menggunakan teorema limit dan perubahan variabel untuk menyederhanakan ekspresi ini. Mari kita definisikan $y = 1/x$ , maka:

\lim_{{x \to 0}} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{{y \to \infty}} \frac{\sin(y)}{y} = 0

Menggunakan aturan bahwa limit dari $\sin(x)/x$ saat $x$ mendekati tak hingga adalah 0.

Soal 4

Tentukan limit dari fungsi $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Soal ini mengandung bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x = 0$ . Namun, ini adalah limit yang terkenal dan muncul dalam turunan dari fungsi eksponensial. Jawabannya adalah:

\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x} = 1

Soal 5

Cari limit dari fungsi $g(x) = \frac{\ln(x+1)}{x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Soal ini juga mengandung bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x = 0$ . Namun, ini juga adalah limit yang terkenal dan muncul dalam turunan dari fungsi logaritma natural. Jawabannya adalah:

\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1

Soal 6

Hitung limit dari fungsi $f(x) = \frac{3x^2 - 2x}{x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita dapat membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan $x$ , jika $x$ tidak sama dengan 0, dan kemudian mengambil limit sebagai $x$ mendekati 0:

\lim_{{x \to 0}} \frac{3x^2 - 2x}{x} = \lim_{{x \to 0}} 3x - 2 = -2

Soal 7

Tentukan limit dari fungsi $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Ini adalah limit yang sangat terkenal dalam matematika dan nilai limitnya adalah 1:

\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1

Soal 8

Cari limit dari fungsi $h(x) = \frac{1 - \cos(x)}{x^2}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ dan properti limit untuk menyederhanakan ekspresi ini:

\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin^2(x)}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 1^2 = 1

Soal 9

Tentukan limit dari fungsi $f(x) = x^2 e^{1/x}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Kita bisa menggunakan teorema limit dan perubahan variabel untuk menyederhanakan ekspresi ini. Mari kita definisikan $y = 1/x$ , maka:

\lim_{{x \to 0}} x^2 e^{1/x} = \lim_{{y \to \infty}} \frac{e^y}{y^2}

Namun, ini adalah limit yang tak hingga/ tak hingga, dan kita tahu bahwa fungsi eksponensial tumbuh lebih cepat daripada fungsi polinomial, jadi limit ini adalah tak hingga.

Soal 10

Cari limit dari fungsi $g(x) = \frac{\tan(x) - x}{x^3}$ saat $x$ mendekati 0.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita bisa menggunakan ekspansi Taylor dari fungsi $\tan(x)$ dan properti limit untuk menyederhanakan ekspresi:

\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x) - x}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5) - x}{x^3} = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{3} + O(x^2) = \frac{1}{3}

Soal 11

Hitunglah limit dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ saat $x$ mendekati 2.

Pembahasan

Soal ini mengandung bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x = 2$ . Kita bisa menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan penyebut dan membatalkan faktor $x - 2$ di penyebut dan pembilang, memberikan:

\lim_{{x \to 2}} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{{x \to 2}} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{{x \to 2}} (x + 2) = 4

Soal 12

Hitunglah limit dari fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x} - 3}$ saat $x$ mendekati 9.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita perlu memanipulasi ekspresi tersebut sehingga kita bisa mengatasi bentuk tak tentu. Kita bisa melakukan ini dengan mengalikan penyebut dan pembilang dengan konjugat dari penyebut:

\lim_{{x \to 9}} \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x} - 3} = \lim_{{x \to 9}} \frac{(x - 9)(x + 9)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{{x \to 9}} \frac{x + 9}{\sqrt{x} + 3} = 6

Soal 13

Tentukan limit dari fungsi $g(x) = \frac{e^{1/x}}{x}$ saat $x$ mendekati tak hingga.

Pembahasan

Soal ini adalah bentuk tak hingga/0 saat $x$ mendekati tak hingga. Namun, kita tahu bahwa eksponensial tumbuh lebih cepat daripada fungsi polinomial atau fungsi aljabar, jadi limit ini adalah 0:

\lim_{{x \to \infty}} \frac{e^{1/x}}{x} = 0

Melalui contoh soal limit yang beragam dalam artikel ini, kita dapat meningkatkan pemahaman tentang limit dan kemampuan kita dalam menganalisis fungsi saat mendekati titik tertentu. Dengan kesabaran dan konsistensi, kita akan menjadi lebih terampil dalam matematika secara keseluruhan.

Semoga artikel ini bermanfaat dalam memperdalam pemahaman tentang limit dan mengembangkan keterampilan kita dalam kalkulus.