Deret aritmatika merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang melibatkan penjumlahan sekuens bilangan dengan pertambahan yang konstan. Dalam kumpulan contoh soal deret aritmatika ini, kita akan mengeksplorasi berbagai deret aritmatika dan belajar bagaimana menemukan suku-suku dan jumlah deret tersebut.

Soal 1

Jika deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 2$ dan beda $d = 5$ , tentukan suku ke-10 ( $a_{10}$ ).

Pembahasan

Rumus suku ke-n dalam deret aritmatika adalah $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$ .

Dengan $a_1 = 2$ , $d = 5$ , dan $n = 10$ , kita dapat menghitung $a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 5 = 47$ .

Soal 2

Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 3$ dan suku kedua $a_2 = 6$ . Tentukan suku ke-100 ( $a_{100}$ ).

Pembahasan

Karena ini adalah deret aritmatika, beda adalah konstan, sehingga $d = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$ .

Menggunakan rumus suku ke-n, kita dapat menghitung $a_{100} = 3 + (100 - 1) \cdot 3 = 300$ .

Soal 3

Jika suku pertama sebuah deret aritmatika adalah $a_1 = 4$ dan suku ke-10 adalah $a_{10} = 31$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Dalam deret aritmatika, beda $d$ dapat ditemukan dengan mengurangi suatu suku dengan suku sebelumnya.

Dalam kasus ini, $d = (a_{10} - a_1) / (10 - 1) = (31 - 4) / 9 = 3$ .

Soal 4

Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 7$ dan beda $d = -3$ . Tentukan jumlah 20 suku pertama ( $S_{20}$ ).

Pembahasan

Jumlah suku pertama dalam deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Dengan $n = 20$ , $a_1 = 7$ , dan $d = -3$ , kita dapat menghitung $S_{20} = 20/2 \cdot (2 \cdot 7 + (20 - 1) \cdot -3) = -400$ .

Soal 5

Jika suku pertama sebuah deret aritmatika adalah $a_1 = 3$ , dan jumlah 10 suku pertama adalah $S_{10} = 105$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Rumus untuk jumlah suku pertama dalam deret aritmatika adalah $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Karena kita diberikan $S_{10} = 105$ dan $a_1 = 3$ , kita dapat menyelesaikan rumus ini untuk $d$ : $105 = 10/2 \cdot (2 \cdot 3 + (10 - 1) \cdot d)$ dan mendapatkan $d = 2$ .

Soal 6

Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 5$ dan beda $d = 7$ . Berapa nilai dari suku ke-8 ( $a_8$ )?

Pembahasan

Menggunakan rumus suku ke-n dalam deret aritmatika, $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$ , kita dapat menghitung $a_8 = 5 + (8 - 1) \cdot 7 = 54$ .

Soal 7

Deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 2$ dan suku kedua $a_2 = -1$ . Berapa nilai dari suku ke-50 ( $a_{50}$ )?

Pembahasan

Karena ini adalah deret aritmatika, beda $d$ adalah konstan, maka $d = a_2 - a_1 = -1 - 2 = -3$ .

Dengan rumus suku ke-n, kita dapat menghitung $a_{50} = 2 + (50 - 1) \cdot -3 = -144$ .

Soal 8

Jika suku pertama sebuah deret aritmatika adalah $a_1 = -3$ dan suku ke-15 adalah $a_{15} = 57$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Beda $d$ dalam deret aritmatika dapat ditemukan dengan mengurangi suatu suku dengan suku sebelumnya.

Dalam hal ini, $d = (a_{15} - a_1) / (15 - 1) = (57 - (-3)) / 14 = 4$ .

Soal 9

Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = -6$ dan beda $d = -4$ . Berapa jumlah 12 suku pertama ( $S_{12}$ )?

Pembahasan

Jumlah suku pertama dalam deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Dengan $n = 12$ , $a_1 = -6$ , dan $d = -4$ , kita dapat menghitung $S_{12} = 12/2 \cdot (2 \cdot (-6) + (12 - 1) \cdot -4) = -312$ .

Soal 10

Jika suku pertama suatu deret aritmatika adalah $a_1 = 7$ dan jumlah 8 suku pertama adalah $S_8 = 136$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Rumus untuk jumlah suku pertama dalam deret aritmatika adalah $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Karena kita diberikan $S_8 = 136$ dan $a_1 = 7$ , kita dapat menyelesaikan rumus ini untuk $d$ : $136 = 8/2 \cdot (2 \cdot 7 + (8 - 1) \cdot d)$ dan mendapatkan $d = 4$ .

Soal 11

Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 8$ dan beda $d = -2$ . Berapa nilai dari suku ke-7 ( $a_7$ )?

Pembahasan

Menggunakan rumus suku ke-n dalam deret aritmatika, $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$ , kita dapat menghitung $a_7 = 8 + (7 - 1) \cdot -2 = 0$ .

Soal 12

Deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 6$ dan suku ketiga $a_3 = 12$ . Berapa nilai dari suku ke-25 ( $a_{25}$ )?

Pembahasan

Dalam deret aritmatika, beda $d$ adalah konstan, maka $d = a_3 - a_1 = 12 - 6 = 6$ .

Dengan rumus suku ke-n, kita dapat menghitung $a_{25} = 6 + (25 - 1) \cdot 6 = 150$ .

Soal 13

Jika suku pertama sebuah deret aritmatika adalah $a_1 = 3$ dan suku ke-13 adalah $a_{13} = 39$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Beda $d$ dalam deret aritmatika dapat ditemukan dengan mengurangi suatu suku dengan suku sebelumnya.

Dalam hal ini, $d = (a_{13} - a_1) / (13 - 1) = (39 - 3) / 12 = 3$ .

Soal 14

Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama $a_1 = 11$ dan beda $d = 5$ . Berapa jumlah 15 suku pertama ( $S_{15}$ )?

Pembahasan

Jumlah suku pertama dalam deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Dengan $n = 15$ , $a_1 = 11$ , dan $d = 5$ , kita dapat menghitung $S_{15} = 15/2 \cdot (2 \cdot 11 + (15 - 1) \cdot 5) = 600$ .

Soal 15

Jika suku pertama suatu deret aritmatika adalah $a_1 = -4$ dan jumlah 6 suku pertama adalah $S_6 = 54$ , tentukan beda ( $d$ ).

Pembahasan

Rumus untuk jumlah suku pertama dalam deret aritmatika adalah $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)$ .

Karena kita diberikan $S_6 = 54$ dan $a_1 = -4$ , kita dapat menyelesaikan rumus ini untuk $d$ : $54 = 6/2 \cdot (2 \cdot -4 + (6 - 1) \cdot d)$ dan mendapatkan $d = 8$ .

Dalam kumpulan contoh soal deret aritmatika, kita telah mempelajari cara menemukan suku-suku deret, menentukan jumlah deret, dan menerapkan konsep ini dalam konteks matematika yang lebih luas.

Pemahaman ini tidak hanya memperluas pengetahuan matematika kita, tetapi juga relevan dalam berbagai bidang, seperti keuangan, statistik, dan ilmu komputer. Dengan pemahaman yang baik tentang deret aritmatika, kita memiliki alat yang kuat untuk menganalisis pola dan menjawab pertanyaan penting dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari.