Materi turunan adalah konsep penting dalam Matematika yang harus dikuasai oleh pelajar sebelum membahas mengenai penggunaan konsep kalkulus diferensial yang merupakan kelanjutan dari materi limit. Sebelum menguasai konsep turunan, trigonometri, fungsi dan limit fungsi harus sudah dikuasai.
Definisi Turunan
Turunan atau diferensial adalah operasi Matematika terhadap perubahan nilai suatu fungsi dikarenakan perbedaan nilai input variabel.
Penerapan Turunan
Konsep turunan memiliki banyak manfaat dalam kehidupan. Di bidang Matematika, konsep turunan berfungsi untuk memudahkan mencari garis singgung suatu kurva dari fungsi maupun kecepatan. Konsep turunan juga berfungsi di bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme.
Sementara di bidang ekonomi, konsep turunan juga berguna untuk menghitung keuntungan marjinal dari bisnis. Dalam bidang IPA seperti Fisika, konsep turunan berguna untuk menghitung kepadatan materi seperti kawat serta di bidang Kimia untuk menghitung laju pemisahan zat dalam fluida.
Rumus Turunan
Turunan dari fungsi f dinotasikan dengan f’ yang diperkenalkan oleh seorang ahli Matematikawan Perancis yakni Josep Louis Lagrange (1736 – 1813). Notasi fungsi f’ memiliki nilai di x berupa f’ (x).
Apabila titik (x, y) terletak pada grafik fungsi f, yang mana x memenuhi persamaan y = f (x), maka notasi f’ bisa diganti dengan y’ atau dy/dx. Notasi dy/dx digunakan oleh Matematikawan Jerman yakni Gottfried Wilhelm Leibniz.
Pelajari Juga Persamaan Kuadrat
Turunan Fungsi
Ada beberapa teorema turunan (diferensiasi) fungsi yang memudahkan perhitungan:
1. Apabila fungsi f (x) = g, yang mana nilai g merupakan konstanta, maka turunan fungsi f’ (x) = 0.
2. Turunan fungsi dengan persamaan f (x) = bxᵅ bisa dihitung secara sederhana dengan:
f’ (x) = a.bxᵅˉ¹
Sebagai contoh yakni menghitung turunan dari fungsi f (x) = 4x⁵. Turunan fungsi tersebut adalah:
f’ (x) = 4 (5) x⁵ˉ¹
f’ (x) = 20 x⁴
3. Apabila g adalah suatu fungsi, yang mana k merupakan konstanta dengan f fungsi yang didefinisikan oleh persamaan berikut:
f (x) = k.g (x), untuk turunan dari g adalah:
f’ (x) = k.g’ (x)
4. Apabila g dan h merupakan dua buah fungsi, dengan f fungsi didefinisikan oleh persamaan f (x) = g (x) + h (x). Apabila fungsi g dan h memiliki turunan menjadi:
f’ (x) = g’ (x) + h’ (x)
5. Apabila g dan h merupakan dua buah fungsi, dengan f fungsi didefinisikan oleh persamaan f (x) = g (x). h (x). Apabila fungsi g dan h memiliki turunan menjadi:
f’ (x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x)
6. Apabila g dan h merupakan dua buah fungsi, dengan f fungsi didefinisikan oleh persamaan
Apabila fungsi g dan h memiliki turunan menjadi:
Turunan Fungsi Aljabar
Pada fungsi aljabar f(x), berlaku pada fungsi aljabar tersebut rumus turunan fungsi berikut:
Turunan Akar
Untuk fungsi berbentuk akar, seperti
maka turunan fungsi tersebut adalah:
Sementara jika fungsi tersebut berbentuk
maka berlaku padanya turunan berikut:
Pelajari Juga Fungsi Kuadrat
Contoh Soal Turunan
- Soal 1
Tentukan berapakah turunan pertama dari fungsi berikut ini:
a. f (x) = x²
b. f (x) = 6x
c. f (x) = 6
Jawab:
a. Bentuk fungsi f (x) = x² adalah fungsi kuadrat yang membentuk kurva melengkung ke atas. Karena membentuk garis lengkung maka garis singgung akan ada di sepanjang kurva. Sehingga gradient garis singgung akan berbeda di setiap titik kurvanya.
Sehingga jika ditanya berapa turunan pertama fungsi f (x) = x² di titik x = 5, cukup disubstitusikan saja ke:
f’ (5) = 2 . 5 = 10
b. f (x) = 6x
Fungsi f (x) = 6x apabila dibuat grafiknya maka akan membentuk garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y karena merupakan fungsi linear. Bentuk fungsi linear adalah y = mx + c. Gradien dari fungsi linear ini adalah koefisien dari variabel x tersebut (m) yakni 6.
c. Fungsi f (x) = 6 adalah fungsi konstan karena saat digambar grafik berbentuk garis yang sejajar dengan sumbu X pada titik y = 6. Grafik yang sejajar sumbu X mempunyai garis singgung fungsi yang juga datar sehingga tidak memiliki nilai gradient alias kemiringan = 0.
Sehingga turunan fungsi f (x) = 6 adalah 0. Pembuktian dengan rumus:
- Soal 2
Tentukan berapakah turunan fungsi f’ (x) dari f (x) = 6x⁵ – 4x⁴ – 8x³ + 2x + 5
Jawab:
f (x) = 6x⁵ – 4x⁴ – 8x³ + 2x + 5
f’ (x) = 5 (6)x⁵ˉ¹ – 4 (4)x⁴ˉ¹ – 3 (8)x³ˉ¹ + 1 (2)x¹ˉ¹ + 0
f’ (x) = 30x⁴ – 16x³ – 24x² + 2
- Soal 3
Tentukan turunan fungsi f’ (x) dari fungsi f(x) = (x⁵ + 3x³) (2x⁴ – 4x²)
Jawab:
Dimisalkan bahwa g(x) = (x⁵ + 3x³) dan h(x) = (2x⁴ – 4x²)
f’ (x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x)
f’ (x) = (5x⁴ + 9x²) (2x⁴ – 4x²) + (8x³ – 8x) (x⁵ + 3x³)
f’ (x) = (10x⁸ – 20x⁶ + 18x⁶ – 36x⁴) + (8x⁸ + 24x⁶ – 8x⁶ – 24x⁴)
f’ (x) = 18x⁸ + 14x⁶ – 60x⁴
Pelajari Lebih Lanjut Kumpulan Contoh Soal Turunan
Kesimpulan
Materi turunan masih erat kaitannya dengan materi yang dipelajari sebelumnya mengenai konsep fungsi dan limit fungsi. Secara definisi, turunan fungsi pada suatu titik juga bisa diartikan sebagai kemiringan atau gradien dari garis singgung fungsi pada titik tersebut.