Aturan sinus cosinus dibahas di dalam salah satu cabang Matematika yakni trigonometri. Materi trigonometri sangat bermanfaat dalam kehidupan nyata karena digunakan untuk pengembangan teknologi kedokteran, fisika, teknik dan sebagainya.
Aturan Sinus
Aturan sinus cosinus pertama yang dibahas adalah aturan sinus. Sinus suatu sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi yang ada di depan sudut dengan sisi miring dari segitiga tersebut. Berikut cara penulisan aturan sinus:
sin B = sisi di depan sudut B : sisi miring segitiga
Kebalikan dari nilai sinus suatu sudut yakni cosecan sudut tersebut. Cosecan sebuah sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi miring segitiga dibagi dengan sisi di depan sudut.
cosec B = 1/sin B
cosec B = 1/(sisi di depan sudut B/sisi miring segitiga)
cosec B = sisi miring segitiga/sisi di depan sudut B
Gambar 1. di atas merupakan contoh segitiga siku-siku dimana jika diterapkan hukum aturan sinus pada sudut a persamaannya menjadi berikut ini:
sin a = y/r
Agar dapat mengerjakan aturan sinus cosinus dengan tepat, maka harus dipahami bahwa yang dimaksud dengan sisi miring dari segitiga adalah sisi miring yang berhadapan dengan sudut siku-siku (90⁰) secara langsung.
Sehingga apabila sudut yang diketahui ada pada segitiga selain segitiga siku-siku, maka harus dibuat sudut siku-siku terlebih dahulu sebagai patokan untuk sisi miringnya.
Sebagai contoh pada Gambar 2. di atas adalah segitiga ABC yang bukan merupakan segitiga siku-siku. Oleh karena itu ditarik ruas garis yang tegak lurus terhadap alas segitiga sebagai tingginya. Tinggi segitiga membentuk sudut siku-siku terhadap sisi alas.
Pada Gambar 2, ruas garis yang tegak lurus adalah ruas garis BQ tegak lurus AC, ruas garis AP tegak lurus BC dan ruas garis CR tegak lurus AB. Jika bentuk segitiga yang harus dihitung nilai sinus dan cosinus bukan segitiga siku-siku seperti pada Gambar 2, maka bisa menggunakan rumus berikut:
c/sin C = b/sin B = a/sin A
Rumus di atas adalah turunan dari persamaan sinus pada segitiga ABC di Gambar 2 dan disebut sebagai aturan sinus.
Contoh Soal Aturan Sinus
Pada gambar segitiga di bawah ini terlihat bahwa titik A (-12, 5) dengan sudut AOX sebesar a. Tentukan berapakah nilai dari sin a dan cosec a.
Jawab:
Bangun segitiga di atas terletak pada kuadran II karena nilai x yang negatif. Untuk menjawab pertanyaan di atas, maka pertama-tama harus dicari terlebih dahulu panjang sisi miring segitiga dengan rumus Phytagoras:
AO² = AX² + XO²
AO² = 5² + (-12)²
AO² = 25 + 144
AO² = 169
AO = 13
Selanjutnya untuk menghitung nilai sinus a dan cosec a dengan menggunakan rumus aturan sinus.
sin a = sisi di depan sudut a : sisi miring segitiga
sin a = 5/13
cosec a = 1/sin a
cosec a = 1/(5/13)
cosec a = 13/5
Aturan Cosinus
Cosinus suatu sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi yang ada di sebelah sudut dengan sisi miring dari bangun segitiga. Berikut cara penulisan aturan cosinus:
cos B = sisi di sebelah sudut : sisi miring segitiga
Jika hukum aturan cosinus pada segitiga siku-siku di Gambar 1. diterapkan persamaannya menjadi berikut ini:
cos a = x/r
Kebalikan dari nilai cosinus suatu sudut adalah secan sudut tersebut. Secan sebuah sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi miring segitiga terhadap sisi yang ada di sebelah sudut.
sec B = 1/cos B
sec B = 1/(sisi di sebelah sudut/sisi miring segitiga)
sec B = sisi miring segitiga/sisi di sebelah sudut
Pada sinus kuadrat dan cosinus kuadrat berlaku hukum sebagai berikut:
Berdasarkan hukum Phytagoras, kuadrat sisi miring segitiga siku-siku senilai dengan penjumlahan kuadrat sisi tegak dan sisi mendatar segitiga siku-siku, sehingga:
Persamaan kuadrat sinus dan kuadrat cosinus di atas dikenal sebagai persamaan identitas trigonometri.
Contoh Soal Aturan Cosinus
Diketahui titik-titik berikut ini yakni:
a. A (-12, 5) dengan sudut AOX sebesar a. Tentukan berapakah nilai dari cos a dan sec a.
b. B (15, -8) dengan sudut BOX sebesar θ. Tentukan berapakah nilai dari cos θ dan sec θ.
Jawab:
a. Pada soal a ini sisi miring dari segitiga siku-siku AOX sudah diketahui dari penjelasan soal di aturan sinus sebelumnya. Sehingga bisa dihitung langsung nilai cos dan sec.
cos a = sisi di sebelah sudut/sisi miring segitiga
cos a = -12/13
sec a = 1/cos a
sec a = 1/(-12/13)
sec a = -13/12
b. Pada soal b, apabila bangun segitiga tersebut digambar di grafik (x,y) maka akan terlihat bahwa segitiga berada di kuadran IV. Untuk menghitung nilai cos dan sec maka harus dicari terlebih dahulu sisi miring dari segitiga dengan persamaan Phytagoras.
BO² = BX² + XO²
BO² = (-8)² + 15²
BO² = 64 + 225
BO² = 289
BO = 17
Selanjutnya bisa dihitung nilai cos θ dan sec θ.
cos θ = sisi di sebelah sudut/sisi miring segitiga
cos θ = 15/17
sec θ = 1/cos θ
sec θ = 1/(15/17)
sec θ = 17/15
Pelajari Juga Identitas Trigonometri
Aturan Tangen
Dari informasi mengenai aturan sinus cosinus maka bisa didapatkan nilai tangen suatu sudut. Tangen suatu sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi yang terletak di depan sudut dengan sisi di sebelah sudut. Tangen sudut adalah pembagian sinus sudut terhadap cosinus sudut tersebut.
Tan B = sin B/cos B
Tan B = (sisi di depan sudut B/sisi miring segitiga) : (sisi di sebelah sudut/sisi miring segitiga)
Tan B = (sisi di depan sudut B/sisi miring segitiga) x (sisi miring segitiga/sisi di sebelah sudut)
Tan B = sisi di depan sudut B/ sisi di sebelah sudut
Jika hukum aturan tangen pada segitiga siku-siku di Gambar 1. diterapkan persamaannya menjadi berikut ini
Kebalikan dari nilai tangen suatu sudut adalah cotangen sudut tersebut. Cotangen sebuah sudut merupakan perbandingan antara panjang sisi yang ada di sebelah sudut dengan sisi di depan sudut.
Cotan B = 1/tan B
Cotan B = 1/(sisi di depan sudut B/sisi di sebelah sudut B)
Cotan B = sisi di sebelah sudut B/sisi di depan sudut B
Kesimpulan
Aturan sinus cosinus pada trigonometri membahas mengenai relasi antara sisi dari sudut sebuah bangun segitiga. Relasi antara sisi dari sudut segitiga pada trigonometri berlaku pada segitiga siku-siku yang mana dengan mengetahui salah satu sudut segitiga dan salah satu sisi bisa dihitung panjang sisi yang lain.