Contoh Soal Induksi Matematika & Pembahasannya

Jawab:

Untuk membuktikan deret 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + g³ = ¼ g² (g + 1)² menggunakan teknik induksi matematika berikut:

1.) Langkah pertama pembuktian adalah membuktikan untuk nilai g = 1 sehingga didapatkan nilai:

Sisi kiri 1³ = 1
Sisi kanan = ¼ . 1² (1 + 1)² = ¼ . 1 (2)² = 1

Maka:

sisi kiri = sisi kanan
1 = 1 (Pernyataan bernilai benar)

2.) Langkah kedua adalah mengasumsikan nilai g = m.

Diasumsikan pernyataan berikut bernilai benar:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + m³ = ¼ m² (m + 1)²

3.) Langkah ketiga adalah membuktikan nilai g = m + 1, berikut cara pembuktiannya:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + (m + 1)³ = ¼ (m + 1)² (m + 1)²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + m³ = ¼ m² (m + 1)²

Selanjutnya di kedua sisi kanan dan kiri ditambahkan (m + 1)³

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + m³ + (m + 1)³ = ¼ m² (m + 1)² + (m + 1)³

= (m + 1)² {¼ m² + (m + 1)}

= (m + 1)² . ¼ . (m² + 4m + 4)

= ¼ (m + 1)² (m² + 4m + 4)

= ¼ . (m + 1)² (m + 2)²

Sehingga terbukti bahwa deret 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + m³ = ¼ m² (m + 1)²

Jawab:

Bilangan yang termasuk bilangan bulat ganjil positif diawali dari bilangan 1, 3, 5 dan seterusnya yang tidak bisa habis dibagi oleh angka 2. Di bawah ini adalah pola penjumlahan bilangan bulat ganjil positif:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2h – 1) = h²

1.) Langkah pertama pembuktian:

Membuktikan apakah nilai h = 1 bernilai benar, maka:

h² = 1² = 1

2.) Langkah kedua yakni melakukan pembuktian persamaan untuk h ≥ 1 apakah bernilai benar, seperti berikut:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2h – 1) = h² (Pernyataan ini bernilai benar)

3.) Langkah ketiga yakni melakukan pembuktian apakah nilai (h + 1) bernilai benar seperti berikut:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2h -1) + (2 (h + 1) – 1) = (h + 1)²

Berikut pembuktiannya:

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2h -1) + (2 (h + 1) – 1) = (h + 1)²

1 + 3 + 5 + 7 +… + (2h -1) + (2h + 2 – 1) = (h + 1)²

h² + 2h + 2 – 1 = h² + h + h + 1

h² + 2h + 1 = h² + 2h + 1

(h + 1)² = (h + 1)² (Persamaan terbukti benar)

Jawab:

Pembuktian mengikuti tiga langkah seperti pada soal sebelumnya.

1.) Membuktikan apakah nilai y = 1 bernilai benar, maka:

Sisi kiri = 1,
Sisi kanan = ½ . 1 (1 + 1) = ½ . 1 (2) = 1

Maka:

sisi kiri = sisi kanan
1 = 1 (Pernyataan bernilai benar)

2.) Buktikan apakah nilai y = h bernilai benar, maka:

Diasumsikan bahwa persamaan berikut bernilai benar untuk y = h:

1 + 2 + 3 + 4 + … + h = ½ h (h + 1)

3.) Langkah ketiga yaitu membuktikan nilai y = h + 1 bernilai benar dengan cara berikut:

1 + 2 + 3 + 4 + … + h + 1 = ½ (h + 1) (h + 2)

Selanjutnya dibuktikan apa persamaan di sisi kiri sama dengan persamaan di sisi kanan dengan cara berikut ini

1 + 2 + 3 + 4 + … + h = ½ h (h + 1)

Selanjutnya di kedua sisi kanan dan kiri ditambahkan (h + 1)

1 + 2 + 3 + 4 + … + h + (h + 1) = ½ h (h + 1) + (h + 1)
= ½ h (h + 1) + ½ . 2 (h + 1) (kedua penyebutnya disamakan)
= ½ (h + 1) . h + ½ (h + 1) . 2 (Diuraikan menggunakan h + 1)

Selanjutnya dengan menggunakan sifat distributif diperoleh

= ½ (h + 1) (h + 2)

Maka persamaan di atas terbukti sama sehingga terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + … + y = ½ y (y + 1) bernilai benar

Jawab:

1.) Langkah pertama adalah h = 1

Sisi kiri = 1 . 2 = 2
Sisi kanan = 1/3 . 1 (1 + 1) (1 + 2)
Sisi kanan = 1/3 . 1 (2) (3) = 2 (Pernyataan bernilai benar)

2.) Langkah kedua adalah mensubstitusikan h = m

Diasumsikan benar

2 + 2. 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + … + m (m + 1) = 1/3 m (m + 1) (m + 2)